системы определяются ее энергией. Поэтому можно постулировать квантовое микроканоническое распределение, которое хорошо описывает статистические свойства замкнутой системы. Обозначим посредством dГ число квантовых состояний замкнутой системы, приходящихся на определенный бесконечно малый интервал значений ее энергии. Это число играет роль, аналогичную элементу фазового объема dpdq в классической статистике. Пусть замкнутая система состоит из подсистем, взаимодействием которых можно пренебречь.

Тогда каждое состояние системы в целом можно характеризовать заданием состояний отдельных подсистем и число dГ предсталяется в виде произведения:

В результате вероятность dw нахождения неподвижной системы в каком-либо из состояний, можно записать в виде

Это и есть квантовое микроканоническое распределение. Его физический смысл состоит в том, что все квантовые состояния замкнутой системы, соответствующие данному значению ее энергии, являются равновероятными.

2.4. Статистический вес. Энтропия

а) Квантовая статистика

Рассмотрим замкнутую систему, находящуюся в состоянии статистического равновесия. Мысленно разделим ее на большое число макроскопических подсистем и рассмотрим одну

из них. Пусть wna - статистическая матрица (функция распределения) этой подсистемы, зависящая от ее энергии Е

Для упрощения формул будем опускать индекс а, но будем подразумевать, что рассматриваем а-тую подсистему.

Найдем W (E) dE - вероятность того, что энергия подсистемы имеет значение в интервале между Е и Е + dE.

Чтобы найти эту вероятность, нужно умножить статистическую матрицу w (E) на число квантовых состояний с энергиями в интервале от Е до Е + dE.

Обозначим через Г (Е) - число состояний с энергиями , меньшими или равными Е.

Тогда число состояний в интервале dE есть dΓ = dEdΓ dE

и, следовательно, распределение вероятностей по энергии можно записать в виде

причем функция W удовлетворяет условию нормировки

Это условие означает, что площадь под кривой W = W(E) равна единице.

Вероятностный характер результатов статистики в большинстве случаев никак не

проявляется. Если наблюдать макроскопическое тело в течение долгого времени, то оказывается, что все характеризующие его величины являются практически постоянными, равными своим средним значениям, и лишь изредка испытывают отклонения, называемые флуктуациями. Это тем более справедливо, чем больше и сложнее тело. Если с помощью функции распределения f(р,q) построить функцию распределения вероятностей различных значений величины, то эта функция W будет иметь чрезвычайно острый максимум при среднем значении, отличаясь от нуля лишь в непосредственной близости от точки максимума. В этом смысле предсказания статистики имеют практически определенный, а не вероятностный характер.

Рис. 1: Распределение вероятностей значений физической величины

Введем ширину кривой W = W(E), определив ее как ширину прямоугольника, высота которого равна значению W в точке максимума, а площадь равна единице. Таким образом, ширина этой кривой Е определяется соотношением

(***)

Или для матрицы плотности

где

Г - число квантовых состояний в интервале энергии Е. Величина Г называется статистическим весом макроскопического состояния подсистемы, а величина

S=ln Г - энтропией подсистемы.

Обе величины являются безразмерными. Поскольку статистический вес всегда больше единицы, то энтропия не может быть отрицательной.

Понятие энтропии - одно из важнейших в статистике. Статистическое определение энтропии через статистический вес Г имеет простой физический смысл. Статистический вес - это число состояний, в которых равновесная подсистема проводит почти все время.

б) Классическая статистика

Все сделанные определения можно перенести на случай классической статистики. Отличие состоит в том, что вместо функции w (Е) нужно говорить о классической функции распределения ρ(Е), а вместо статистического веса об объеме участка фазового пространства.

По аналогии с формулой (***) ведем объем фазового пространства, где находится наша подсистема все время наблюдения.