Термодинамика и статфизика часть 1 |
|
|
|
|
11 |
||
ln ρ |
n |
{ q, p} = α + β E |
n |
{ q, p} + γr P |
{ q, p}{ q, p} + δ M |
n |
{ q, p} |
|
|
n |
|
|
|||
В термодинамике и статфизике нас не интересует движение системы в целом. Всегда (или точнее, почти всегда) можно выбрать такую систему координат, в которой рассматриваемая нами система покоится. Тогда полный импульс и полный момент импульса системы строго равны нулю. И мы получаем, что логарифм функции распределения системы зависит только от энергии!
Все огромное количество переменных, от которых зависит функция распределения макроскопической подсистемы, свелось к ее зависимости от одной единственной величины – энергии:
ln ρ n { q, p} = α + β En { q, p} |
(2.2) |
Очень важно, что для всех подсистем, из которых состоит рассматриваемая система, параметры α и β одинаковы. Последнее выражение есть основной результат всего предыдущего рассмотрения.
Т.о. мы выяснили, что значения аддитивных интегралов движения - энергии, импульса и момента импульса - полностью определяют статистические свойства замкнутой системы. Для неподвижной системы остается всего один интеграл движения -энергия, который и определяет ее статистические свойства. Можно сказать, что макроскопическая система совершает столь сложное движение, что "забывает"о своем начальном состоянии и "помнит"только о своей полной энергии.
С другой стороны она зависит от координат и импульсов микроскопических частиц.
r r |
r |
r |
r |
r r |
r |
r |
r |
ρ { p,q} = |
ρ { p1 |
, p2 |
, p3 |
,...pN , q1 |
, q2 |
, q3 |
...qN } |
Пусть
E0 – полная энергия равновесной замкнутой системы,
P0 – полный импульс М0 – полная энегия
Согласно теореме Лиувилля функция распределения должна быть постоянной величиной, если
и равной нулю, если это условие не выполняется.
2.3. Микроканоническое распределение
В силу закона сохранения энергии система может двигаться только по таким фазовым траекториям, на которых ее общая энергия равна E0 . Т.е. вероятность состояний замкнутой системы с другими значениями энергии равна нулю. Зато в соответствии с теоремой Лиувилля вероятность всех состояний, в которых энергия системы равна E0 , одинакова. Ведь вдоль фазовых траекторий ρ = const ! Эти условия можно записать в виде.
ρ = |
ì const,если |
E = |
E,0 |
(2.3) |
|
í |
0,если |
E ¹ |
E0 |
||
|
î |
|
|||
Причем функция распределения ρ { q, p} должна удовлетворять условию нормировки,
Термодинамика и статфизика часть 1 |
12 |
ò ρ ( p, q)dpdq = 1
т.е. интеграл от нее по всему фазовому пространству должен быть равен единице. И проблема эта состоит в том, что интеграл от функции, которая отлична от нуля в одной
единственной точке ( E = E0 ), а в этой самой точке равна просто константе, строго равен
нулю. Для того, чтобы совместить условие нормировки с этим фактом, функцию |
ρ { q, p} |
||||||
надо записать в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
{ q, p} = |
constδ |
( E{ q, p} - |
E0 ) |
(2.4) |
||
Здесь введена, так называемая, δ |
- функция, которая обладает свойствами: |
|
|||||
δ ( x - x0 ) = |
íì ¥ ,если |
x = |
x0 ; |
ò δ |
( x - x0 ) d x = 1 |
|
|
|
î 0,если |
x ¹ |
x0 |
|
|
|
|
ò f (x)δ (x - x0 )dx = f (x0 )
Распределение (2.4) называется микроканоническим. Поскольку мы задали условия Р0=const, M0=const, то функция (2.4) постоянна на поверхности 2N — 7 (в фазовом пространстве 2N измерений, 7 аддитивных интегралов движения). Вне этой поверхности r = 0. Таким образом, фазовая траектория системы полностью находится на этой поверхности и равномерно заполняет ее, так что теорема Лиувилля автоматически выполняется.
микроканоническое распределение – это распределение для изолированной системы, т.е. Е= const, причем все микросостояния системы равновероятны, соответствующий статистический ансамбль называется микроканоническим.
Особенности квантовой статистики
До сих пор мы считали, что движение частиц, из которых состоит макроскопическое тело, описывается классической механикой. Соответствующая статистика называется классической. Если составляющие тело частицы подчиняются законам квантовой механики, то и статистика должна быть квантовой.
В квантовой механике состояние системы определяется не значениями обобщенных координат и импульсов, а набором квантовых чисел. В дальнейшем полный набор квантовых чисел, характеризующих состояние макроскопической системы, будем
обозначать символом п. Аналогично функции распределения r в классической статистике в квантовой статистике вводится статистическая матрица w, диагональные элементы которой wnn = wn представляют вероятности нахождения системы в состояниях, характеризуемых наборами квантовых чисел п. Все соображения о статистической независимости подсистем и о роли аддитивных интегралов движения остаются справедливыми и в квантовой статистике. Будем рассматривать замкнутую систему в течении времени большего времени релаксации, т. е. Система в полном статистичеком равновесии. В этом случае матрица плотности диагональна.
С помощью рассуждений, аналогичных проделанным в классической статистике, можно прийти к выводу, что логарифм статистической матрицы подсистемы должен иметь вид:
ln wna = a − Ena
где Е - собственные значения энергии а-той подсистемы. Таким образом, вероятности wn зависят только от уровней Еп.
В квантовой статистике, как и в классической, все свойства неподвижной замкнутой