4. Задачи математического анализа
При решении задач математического анализа с помощью пакета Mathcad чаще всего используется панель инструментов Calculus. Эту панель можно активизировать, войдя в меню View /Tollbars
/Calculas или нажимая на кнопку 
из панели инструментов Math. На этой панели находятся 12
команд, предназначенных для выполнения различных задач математического анализа. Логотипы команд наглядно объясняют их значения. Для вызова каждой из 12 команд имеются “горячие” клавиши, значение которых можно узнать, подводя курсор мыши к значку команды.
4.1. Вычисление пределов числовых последовательностей и функций
Три нижние кнопки в панели Calculus предназначены для
вычисления пределов. При помощи первой кнопки 
вычисляются пределы функции или последовательности при стремлении аргумента к некоторому конечному числу a или к бесконечности. Для этой команды есть «горячая» клавиша, состоящая из комби-
нации двух клавиш «Ctrl+L». Вторая и третья кнопки 
«Ctrl+Shift+A», 
«Ctrl+Shift+B» используются для вычисле-
ния односторонних пределов справа и слева.
Для вычисления предела необходимо ввести формулу, а затем подать команду для вычисления предела. Команду для вычисления предела можно подать двумя способами:
нажать на кнопку 
из панели инструментов Symbolic или Evaluation либо на комбинацию клавиш «Ctrl+.».
Выделить формулу и вызвать команду Symbolically в пункте подменю Evaluate в главном меню Symbolics. Это же можно сделать при помощи комбинации клавиш «Ctrl+F9». Для того чтобы результаты выводились слева от формулы, необходимо устано-
50
вить режим Horizontally из подменю Evaluation Style меню Symbolics.
Решение примерного варианта
Решим теперь некоторые примеры из нулевого варианта задания по пределам из сборника типовых расчетов [4].
Пример 1. lim |
2 + 4 +6 +…+ 2n |
. |
|
|
|
|
|
||
n→∞ |
7n2 |
|
|
|
Решение. В числители находится сумма n слагаемых. Запи- |
||||
|
|
|
n |
|
шем условие этого примера в другом виде. lim |
∑2m |
|||
m=1 |
. |
|||
2 |
||||
|
|
n→∞ |
7n |
|
Последовательность нажатия клавиш: «Ctrl+L» Tab n «Ctrl+ |
||||
Shift+z» Tab «Ctrl+Shift+4» Tab m Tab 1 Tab n Tab (2*m) ПП/ 7*n^2 П «Ctrl+.» Enter.
Здесь Tab означает нажатие клавиши табуляции, П – пробел, «Ctrl+L» – комбинация клавиш для предела, «Ctrl+Shift+z» – комбинация клавиш для символа бесконечность (одновременно нажать три клавиши), «Ctrl+Shift+4» – комбинация клавиш для команды суммирования, «Ctrl+.» – комбинация клавиш для вычисления предела. Символ Tab применяется для перехода из одного поля в другое. Такой переход можно производить при помощи мыши.
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: lim |
∑(2 m) |
→ |
1 |
. |
||||||
m=1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
n→∞ |
7 n2 |
7 |
|
|||||||
Пример 2. lim |
x2 + x +1 |
. |
||||||||
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
2x +5 |
||||||||
Решение. |
«Ctrl+L» |
|
|
|
x^2П+x+1ПП/2*x+5 Tab x Tab |
|||||
«Ctrl+Shift+z» «Ctrl+.» Enter. |
||||||||||
Ответ:lim |
x2 |
+ x +1 |
→ ∞. |
|||||||
2 |
x +5 |
|
||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
||||||
51
Пример 3. lim |
3x2 + |
2x − 4 |
. |
|
4x |
4 |
+ 2 |
||
x→∞ |
|
|
||
Решение. Вводим последовательность символов: «Ctrl+L» 3*x^2 П+2*x+4 ПППП/\4 * x^4 П+2 Tab x Tab «Ctrl+Shift+z» «Ctrl+.» Enter. Для ввода символа “корень квадратный” используется «горячая» клавиша \ (обратный слэш).
Ответ:lim |
3 x2 +5 x −4 |
→ |
|
3 |
. |
|||||
|
4 x4 + 2 |
|
2 |
|||||||
x→∞ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
Пример 4. lim |
|
− |
|
|
|
. |
||||
1 − x |
1 |
− x |
3 |
|||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
||||
Решение. Вводим последовательность символов: «Ctrl+L» (2/1–x ПП–5/1–x^3ПППП) Tab x Tab 1 «Ctrl+.» Enter.
lim |
2 |
− |
5 |
|
|
→undefined . |
|
1 − x |
3 |
||||
x→1 1 − x |
|
|
|
|
||
Вычислим односторонние пределы данной функции в окрестности точки x=1.
Для предела слева используем комбинацию клавиш
«Ctrl+Shift+B», а для предела справа – «Crtl+Shift+A».
lim |
|
2 |
− |
|
|
5 |
|
|
→ ∞; |
lim |
|
2 |
− |
|
|
5 |
|
|
→ −∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1− x |
1 |
− x |
3 |
1− x |
1 |
− x |
3 |
||||||||||||
x→1 − |
|
|
|
|
x→1 + |
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: Предел слева равен + , а справа – – .
Пример 5. lim |
x |
. |
|
1−cos x |
|||
x→0 |
|
Решение. Находим предел данной функции, вводя последова-
тельность символов: «Ctrl+L» x/\1–cos(x) Tab x Tab 0 «Ctrl+.» Enter.
lim |
x |
→undefined. |
Предел не существует. Найдем |
|
1 −cos( x ) |
||||
x→0 |
|
|
односторонние переделы слева и справа.
lim |
x |
→ − 2; lim |
x |
→ 2. |
|
1−cos(x) |
1−cos(x) |
||||
x→0− |
x→0+ |
|
52
Для подтверждения полученных |
результатов найдем |
еще |
|||
значения функции |
f ( x ) := |
|
x |
в точках близких к нулю. |
|
|
1 −cos( x ) |
||||
f ( −0.000001 ) = −1.4141507; |
f ( 0.000001) =1.4141507. |
|
|||
Ответ: Предел слева равен − 2 , предел справа равен |
2 . |
||||
Пример 6. lim |
tgx − sin x |
. |
|
|
|
x3 |
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
||
Решение. Находим предел данной функции, вводя последова-
тельность символов: «Ctrl+L» tan(x)–sin(x)ПП/x^3 Tab x Tab 0 «Ctrl+.» Enter.
lim |
tan( x ) − sin( x ) |
|
→ |
1 |
. |
|
x3 |
2 |
|||||
x→0 |
|
|
||||
Ответ: 0,5.
2x+3 x
Пример 7 . lim .
x→∞ 2x−1
Решение. Находим предел данной функции, вводя последова-
тельность символов: «Ctrl+L» (2*x+3ПП/2*x–1)^x Tab x Tab «Ctrl+Shift+z» «Ctrl+.» Enter.
lim 2 x +3 x → exp(2). x→∞ 2 x −1
Ответ: e2.
1
Пример 8. lim 2x−7.
x→7+0
Решение. Находим правосторонний предел данной функции, вводя последовательность символов: Ctrl+Shift+A» 2^1/x–7 Tab x Tab 0 «Ctrl+.» Enter.
1
lim 2x−7 → ∞.
x→7+
53