5.1.4. Решение задачи Коши при помощи встроенных функций

Начало программы.

Конец программы.

В первой строке данной программы получено решение задачи в виде функции y(x). Для ввода символа производной можно использовать комбинацию клавиш «Ctrl+F7». Для задания второй производной необходимо набрать эту комбинацию повторно. Символ = необходимо вводить при помощи комбинации двух клавиш «Ctrl+=». Во второй строке задана таблица переменной x и выведены значения таблиц x и у. Далее построен график полученного решения и выведено значение полученной функции в правой точке. Сравнивая полученное решение y(1) в вычислительном блоке Given/Odesolve с результатом, полученным по методу Рунге–Кутта при N=100, мы видим их полное совпадение. Читателям предлагается провести такое же сравнение для своих вариантов заданий.

Рассмотрим решение задачи о вынужденных колебаниях под воздействием внешней периодической возмущающей силы убывающей со временем амплитуды и сопротивления среды пропорциональной скорости колебания

y′′( t ) + 2by′( t ) +ω2 y( t ) = ae−0,01t sin μt, y( 0 ) = 0, y′( 0 ) = 0,t [ 0; T ].

Напишем программу для решения поставленной задачи.

78

Начало программы.

В качестве значений для параметров поставленной задачи ω, μ, a и b выбраны некоторые

произвольные числа. Можно исследовать поведения решения задачи Коши от каждого из этих параметров. Из графика полученной функции y(t) видно, что

вначале происходит затухание колебательных движений, при этом амплитуда колебательных движений со временем уменьшается, а затем при больших значениях t искомой функции стремит-

ся к нулю. y(T)=0,001.

Рассмотрим пример решения нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи вычислительного блока Given/Odesolve. Пусть дана нормальная система трех дифференциальных уравнений с начальными условиями

Программа для решения данной задачи на Mathcad c использованием вычислительного блока Given/Odesolve выглядит следующим образом:

79

x(t0) = x0 y(t0) = y0 z(t0) = z0

Вместо многоточий необходимо поставить конкретные значения правых частей функций или переменных величин. В результате мы получаем решение в виде вектор-функции.

В качестве конкретного примера рассмотрим решение предыдущей задачи о колебаниях в виде системы двух уравнений первого порядка. Для этого введем две функции: y1(t) =y(t) – переме-

щение материальной точки, и y2(t) =y′(t) – скорости этой же точки. В этом случае программа будет иметь следующий вид:

Можно вывести графики для перемещений y1(t) и скоростей

y2(t) точки в зависимости от вре-

мени. График перемещения совпадает с предыдущим решением.

Кроме вычислительного блока

Given/Odesolve, в Mathcad

встроены еще три функции, которые позволяют решать задачу

80

Кроме перечисленных функций, в Mathcad встроено еще более десяти функций, направленных на решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Список всех функций с небольшим объемом справочной информации

можно посмотреть, нажав на кнопку или Insert/Function.

Без подробных комментариев, рассмотрим еще две функции, предназначенные для решения неустойчивых задач Коши или, так называемых «жестких» обыкновенных дифференциальных уравнений.

Y:= stiffb(y0, a, b, N, F, J) – решение жестких систем методом Булирша–Штера.

Y:= stiffr(y0, a, b, N, F, J) – решение жестких систем методом Розенброка.

Последним параметром данных функций является матрица J(t,y), составленная из якобиана (левые столбцы) и вектора производных по x (правый столбец). Примеры решения жестких систем выходят за рамки курса математики для инженерных специальностей.

Задание для самостоятельной работы

Решить задачу Коши, используя вычислительный блок

Given/Odesolve и функции rkfixed или Rkadapt.

№ Дифференциальное [a,b] Начальные условия Вар. уравнение

82

83