Задание для самостоятельной работы
Выполнить свой вариант типового задания по числовым и функциональным рядам из сборника типовых расчетов [4].
4.3. Дифференцирование функций одной переменной
Для вызова операции вычисления производной первого порядка можно воспользоваться «горячей» клавишей «Ctrl+/», а для вызова вычисления производных старших порядков – «Ctrl+Shift+/». Можно это же выполнить при помощи первых двух кнопок панели инструментов Calculus.
Рассмотрим решение различных задач дифференцирования функции одной переменной на примерах решения некоторых задач нулевого варианта [4].
Пример 1. Используя определение производной, найти производную функции y = 3 x +1.
Решение. Определяем исследуемую функцию f (x) := 3 x +1 .
Применяя определение производной, находим предел отношения приращения функции к приращению аргумента:
lim |
f (x + |
x) − f (x) |
→ |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
||||
x→0 |
3 |
(1+ x)3 |
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
||||||
Пример 2. Вычислить производную y = |
. |
|||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
||
Решение. Вводим последовательность символов: «Shift+/» x Tab x/ \x+1 simplify Enter. Кнопка simplify находится на панели инструментов Simbolic и предназначена для преобразования полученного результата к более простому выражению.
d |
|
x |
simplify → |
1 |
|
2 + x |
|
. |
dx |
|
x +1 |
2 |
|
3 |
|||
|
|
|
(1+ x)2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3. Вычислить производную y = arcctr x12 .
Решение. Вводим последовательность символов: «Shift+/» x Tab acot(1/x^2ПП) simplify Enter.
61
dxd a cot x12 simplify → 2 x4x+1.
Пример 4. Вычислить производную y = arccos5 cos(2 −4x) .
Решение: Вводим последовательность символов: «Shift+/» x Tab acos(cos(2–4*x))^5П “Ctrl+.” Enter.
d |
(arccos(cos(2 −4x)))5 → |
|
|
|
|
|
dx |
( |
|
) |
|
||
20 a cos(cos(−2 + 4 x))4 |
sin |
−2 + 4 x |
. |
|||
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
||
|
|
(1−cos(−2 + 4 x)2 )2 |
|
|||
Копируем полученный результат и подаем команду simplify. В результате получаем ответ:
20 a cos(cos(−2 + 4 x))4 cs gn (sin (−2 + 4 x)).
Здесь asgn(x) – функция, возвращающая знак своего аргумента. Пример 5. Вычислить производную показательно-степенной
функцииy = (sin x)cos x.
Решение: Вводим последовательность символов:
Tab sin(x)^cos(x) «Ctrl+.» Enter.
d |
|
|
|
sin (x)cos(x) →sin (x)cos(x) |
−sin(x) ln (sin(x))+ |
||
|
|||
dx |
|
|
|
|
|
«Shift+/» x
cos(x)2 sin(x) .
Пример 6. Вычислить производную функции, заданной в неявном виде: x3 + x2 y + y2 = 0.
Решение. Используем формулу для вычисления производной
|
|
|
|
|
|
|
dF(x, y) |
|||
функции, заданной в неявном виде F(x,y)=0. y |
′ |
|
dx |
|
|
|||||
= − dF(x, y) . |
||||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
Определяем функцию F(x,y). |
F(x, y) := x3 + x2 y + y2 . Вы- |
|||||||||
|
dF(x, y) |
|
−(3 |
x2 + 2 x y) |
|
|
||||
числяем производную y′: − |
dx |
→ |
. |
|
||||||
dF(x, y) |
|
x2 + 2 y |
|
|||||||
dx
62
Пример 7. Найти x′y от функции y = 2x − x3.
Решение. Для вычисления производной x′y используем фор-
мулу: x′y = |
1 |
. Задаем функцию y(x) := 2 x − x3. Находим произ- |
||||||
|
||||||||
|
y′x |
1 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
водную этой функции |
|
|
→ |
|
. |
|||
|
d |
2 −3 x2 |
||||||
|
|
|
|
|
y(x) |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
Пример 8. Найти |
y′x от функции, заданной в параметриче- |
|||||||
ском виде:
x = t −sint,y =1−cost.
Решение. Определяем функции x(t) и y(t).
|
x(t) := t −sin(t) y(t) :=1−cos(t). |
yt′ |
|
|||||||
Вычисляем производную, используя формулу: y′x = |
. |
|||||||||
|
||||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
xt′ |
||
|
|
|
y(t) |
sin(t) |
|
|
||||
|
|
dt |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
→ |
|
. |
|
|
|
|
|
d |
|
|
1−cos(t) |
|
|
|||
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
|
||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||
Пример 9. Найти все точки, в которых касательная к графику функции y = x3 −2x2 +1 параллельна оси Ox. Построить графики
функции и касательных в найденных точках.
Решение: Определяем функцию y(x) и производную первого
порядка данной функции |
dy(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
d |
|
||
y(x) := x3 −2x2 +1; dy(x) := |
y(x). |
||||
dx |
|||||
|
|
|
|
||
Находим точки, в которых производная равна нулю. Для решения данной задачи используем вычислительный блок Given Find. Знак = вводится комбинацией «Ctrl+=» или из панели boolean.
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
Given dy(x) = 0 Find(x) → |
0 |
|
. z0 := 0 |
z1:= |
|
. |
|
3 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
63