31. Таблица производных.

32.Производная сложных и обратных функций.

Пусть теперь задана сложная функция , т.е. переменнаяесть функция переменной, а переменнаяесть, в свою очередь, функция от независимой переменной.

Теорема. Если и дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной:

.

Утверждение легко получается из очевидного равенства (справедливого прии) предельным переходом при(что в силу непрерывности дифференцируемой функции влечет).

Перейдем к рассмотрению производной обратной функции.

Пусть на множестве дифференцируемая функцияимеет множество значенийи на множествесуществуетобратная функция .

Теорема. Если в точке производная, то производная обратной функциив точкесуществует и равна обратной величине производной данной функции: , или

.

33.Дифференциал функции, его геометрический смысл, правило вычисления дифференциалов. Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента .

Правила вычисления:

1. Константу можно выносить за знак дифференциала.

2. Дифференциал суммы/разности.

Дифференциал суммы/разности функций равен суме/разности дифференциалов от каждого из слагаемых.

3. Дифференциал произведения.

4. Дифференциал частного.

5. Дифференциал константы равен нулю.

34.Производные и дефферинциалы высших порядков. Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

36. (Правило Лопиталя).

Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;

2) и в этой окрестности;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем 

Правило Лопиталя распространяется и на случай . Чтобы убедится в этом, достаточно сделать замену и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.

37. Теоремы Коши, Ланранжа, Ролля Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения) Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

3. на концах отрезка принимает равные значения.

Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка, в которой.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Если , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной. (Следствие.)

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале .

Тогда на интервале найдется по крайней мере одна точка, такая, что

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда . (Замечание)

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой между точкамиинайдется точка, такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде(рис. 1).

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции и:

1. непрерывны на отрезке ;

2. дифференцируемы на интервале ;

3. производная на интервале,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция является постоянной на этом промежутке. (теорема) Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они на этом промежутке отличаются друг от друга на некоторое слагаемое. (теорема)

38. Монотонность. Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное^[1]. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определения

Пусть дана функция Тогда

• функция называетсявозраста́ющей на , если

.

• функция называетсястро́го возраста́ющей на , если

.

• функция называетсяубыва́ющей на , если

.

• функция называетсястро́го убыва́ющей на , если

.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Свойства монотонных функций

• Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.

• Монотонная функция, определённая назамкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.

• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.

• Монотонная функция дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.