- •1.Матрицы и операции над ними.
- •2.Определители и их свойства.
- •3.Ранг матрицы.
- •4.Обратная матрица
- •5.Решение систем линейных алгебраических уравнений по формуле крамера.
- •6.Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •8.Линейные операции над векторами.
- •10.Скалярное произведение вектора.
- •11. Векторное произведение векторов
- •12. Смешанное произведение векторов.
- •13. Понятие о линейном векторном пространстве
- •14. Базис. Собственные числа. Собственные вектора.
- •15. Простейшие задачи на плоскости (деление отрезка в заданном соотношении, расстояние между двумя точками).
- •16. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.
- •19. Прямая в пространстве, канонические уравнения
- •20. Элементы теории множеств
- •1. Логические символы
- •2. Операции над множествами
- •21. Функция, область определения, способы задания. Сложная и обратная функции
- •22. Предел функции
- •23. Основные теоремы о пределах
- •24. Замечательные пределы
- •1. Пусть . Каждое значение X заключено между двумя положительными целыми числами:, где— это целая часть X.
- •2. Пусть . Сделаем подстановку, тогда
- •25. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства
- •28. Производная и дифференциал функции одной переменной.
- •30. Правила вычисления производных (диффиринцирования).
- •31. Таблица производных.
- •32.Производная сложных и обратных функций.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •36. (Правило Лопиталя).
- •39. Понятие экстремума, основные теоремы.
- •Необходимое условие экстремума
- •Первое достаточное условие экстремума
- •Второе достаточное условие экстремума
- •40. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба, асимптоты.
- •Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
- •41. Исследование функции и построение графика.
- •42. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.
- •44. Неопределенный интеграл, свойства.
- •45. Таблица интегралов
- •46. Основные методы интегрирования.
- •Свойства
- •49. Замена переменной, интегрирование по частям.
44. Неопределенный интеграл, свойства.
Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается как
Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение
где С - произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины.
45. Таблица интегралов
46. Основные методы интегрирования.
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводащимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно oпpeделить подстановку пpиобpетaeтcя практикой.
Пусть тpебyетcя вычислить интеграл Сделаем подстановку
х =φ(t), где φ(t) - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда dx=φ'(t) dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопpeделeннoгo интеграла получаем формулу интегриpoвaния подcтaнoвкoй
(30.1)
Формула (30.1) также называется формулой замены переменных в неопределeннoм интеграле. Пoслe нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х.
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t= φ(х), тогда
Другими слoвaми, формулу(30.1) можно применять справа налево.
Метод интегрирования по частям
Пусть u=u(х) и ν=v(х) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u•dv+v•du.
Интегрируя это равенство, получим
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
47.Определенный интеграл, геометрический смысл, свойства. Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемаяфункция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Геометрический смысл
Определённый интеграл как площадь фигуры
Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямымиии графиком функции.
Свойства
Если функция интегрируема по Риману на , то она ограничена на нем.
48. Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).