Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеетвогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная непрерывна в окрестности точки ;

2. вторая производная или не существует в точке ;

3.  при переходе через точку меняет свой знак,

тогда в точке функция имеет перегиб.

Асимптоты.

Прямая называетсявертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значенийилиравноили.

Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функциянепрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Определение

Прямая называетсягоризонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значенийилиравно.

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Определение

Прямая называетсянаклонной асимптотой графика функции , если

41. Исследование функции и построение графика.

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

1. Область определения и область допустимых значенийфункции.

2. Четность, нечетность функции.

3. Точки пересечения с осями.

4. Асимптоты функции.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

7. Сводная таблица.

42. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.

Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение функция принимает в точке , то будет локальным максимумом функции , так как в этом случае существует окрестность точки , такая, что .

Однако свое наибольшее значение функция может принимать и на концах отрезка . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение непрерывной на отрезке функции , надо найти все максимумы функции на интервале и значения на концах отрезка , то есть и , и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.

Наименьшим значением непрерывной на отрезке функции будет наименьший минимум среди всех минимумов функции на интервале и значений и .

43.Первообразная. Первообрáзной данной функции называют такую,производная которой (на всей области определения) равна , то есть. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называетсяинтегрированием.

Так, например, функция является первообразной. Так как производнаяконстанты равна нулю, будет иметьбесконечное количество первообразных, таких как илии т. д.; таким образомсемейство первообразных функции можно обозначить как, где— любое число.Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения .