- •1.Матрицы и операции над ними.
- •2.Определители и их свойства.
- •3.Ранг матрицы.
- •4.Обратная матрица
- •5.Решение систем линейных алгебраических уравнений по формуле крамера.
- •6.Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •8.Линейные операции над векторами.
- •10.Скалярное произведение вектора.
- •11. Векторное произведение векторов
- •12. Смешанное произведение векторов.
- •13. Понятие о линейном векторном пространстве
- •14. Базис. Собственные числа. Собственные вектора.
- •15. Простейшие задачи на плоскости (деление отрезка в заданном соотношении, расстояние между двумя точками).
- •16. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.
- •19. Прямая в пространстве, канонические уравнения
- •20. Элементы теории множеств
- •1. Логические символы
- •2. Операции над множествами
- •21. Функция, область определения, способы задания. Сложная и обратная функции
- •22. Предел функции
- •23. Основные теоремы о пределах
- •24. Замечательные пределы
- •1. Пусть . Каждое значение X заключено между двумя положительными целыми числами:, где— это целая часть X.
- •2. Пусть . Сделаем подстановку, тогда
- •25. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства
- •28. Производная и дифференциал функции одной переменной.
- •30. Правила вычисления производных (диффиринцирования).
- •31. Таблица производных.
- •32.Производная сложных и обратных функций.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •36. (Правило Лопиталя).
- •39. Понятие экстремума, основные теоремы.
- •Необходимое условие экстремума
- •Первое достаточное условие экстремума
- •Второе достаточное условие экстремума
- •40. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба, асимптоты.
- •Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
- •41. Исследование функции и построение графика.
- •42. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.
- •44. Неопределенный интеграл, свойства.
- •45. Таблица интегралов
- •46. Основные методы интегрирования.
- •Свойства
- •49. Замена переменной, интегрирование по частям.
1. Пусть . Каждое значение X заключено между двумя положительными целыми числами:, где— это целая часть X.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то. Поэтому, согласно пределу, имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
для ,
Доказательства следствий
25. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства
Бесконечно малая
Последовательность называется бесконечно малой, если. Например, последовательность чисел— бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если.
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо.
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то,.
Бесконечно большая
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при.
Последовательность называется бесконечно большой, если.
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если.
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо
Свойства бесконечно малых
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то— бесконечно большая последовательность.
26.Непрерывная функция. Свойства непрерывных функций.Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Свойства
Локальные
Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
Если функция непрерывна в точкеи(или), то(или) для всех, достаточно близких к.
Если функции инепрерывны в точке, то функцииитоже непрерывны в точке.
Если функции инепрерывны в точкеи при этом, то функциятоже непрерывна в точке.
Если функция непрерывна в точкеи функциянепрерывна в точке, то ихкомпозиция непрерывна в точке.
Глобальные
Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
Областью значений функции , непрерывной на отрезке, является отрезокгде минимум и максимум берутся по отрезку.
Если функция непрерывна на отрезкеито существует точкав которой.
Если функция непрерывна на отрезкеи числоудовлетворяет неравенствуили неравенствуто существует точкав которой.
Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концамии.
Если функции инепрерывны на отрезке, причемито существует точкав которойОтсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы однунеподвижную точку.
27. Точки разрыва. Точки разрыва - Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условийнепрерывности функции, а именно:
функция определена в точке и ее окрестности;
существует конечный предел функции в точке;
это предел равен значению функции в точке , т.е.
Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.
Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.
Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.