- •1.Матрицы и операции над ними.
- •2.Определители и их свойства.
- •3.Ранг матрицы.
- •4.Обратная матрица
- •5.Решение систем линейных алгебраических уравнений по формуле крамера.
- •6.Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •8.Линейные операции над векторами.
- •10.Скалярное произведение вектора.
- •11. Векторное произведение векторов
- •12. Смешанное произведение векторов.
- •13. Понятие о линейном векторном пространстве
- •14. Базис. Собственные числа. Собственные вектора.
- •15. Простейшие задачи на плоскости (деление отрезка в заданном соотношении, расстояние между двумя точками).
- •16. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.
- •19. Прямая в пространстве, канонические уравнения
- •20. Элементы теории множеств
- •1. Логические символы
- •2. Операции над множествами
- •21. Функция, область определения, способы задания. Сложная и обратная функции
- •22. Предел функции
- •23. Основные теоремы о пределах
- •24. Замечательные пределы
- •1. Пусть . Каждое значение X заключено между двумя положительными целыми числами:, где— это целая часть X.
- •2. Пусть . Сделаем подстановку, тогда
- •25. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства
- •28. Производная и дифференциал функции одной переменной.
- •30. Правила вычисления производных (диффиринцирования).
- •31. Таблица производных.
- •32.Производная сложных и обратных функций.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •36. (Правило Лопиталя).
- •39. Понятие экстремума, основные теоремы.
- •Необходимое условие экстремума
- •Первое достаточное условие экстремума
- •Второе достаточное условие экстремума
- •40. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба, асимптоты.
- •Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
- •41. Исследование функции и построение графика.
- •42. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.
- •44. Неопределенный интеграл, свойства.
- •45. Таблица интегралов
- •46. Основные методы интегрирования.
- •Свойства
- •49. Замена переменной, интегрирование по частям.
22. Предел функции
Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, чтосходящейся к числуa, соответствующая последовательность значений функции сходится к числуA.
23. Основные теоремы о пределах
Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.
Þ .
Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).
Þ .
Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.
.
Доказательство. f(x)=с, докажем, что .
Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое
положительное число. Тогда при
.
Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в
одной точке.
Доказательство. Предположим противное. Пусть
и .
По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:
f(x)-A= - б.м. при ,
f(x)-B= - б.м. при .
Вычитая эти равенства, получим:
B-A=-.
Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:
B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.
Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при, причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.
.
Доказательство. Пусть ,,.
Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:
где - б.м. при.
Сложим алгебраически эти равенства:
f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)=,
где б.м. при.
По теореме о связи предела и б.м. функции:
А+В-С=.
Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при, причем предел произведения равен произведению пределов.
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
.
Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,
причем , то и их частное имеет предел при, причем предел частного равен частному пределов.
, .
24. Замечательные пределы
Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы ии докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . ТочкаH — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где — площадь сектора)
(из :)
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на :
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Доказательство следствий
Второй замечательный предел
или
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений x
Докажем вначале теорему для случая последовательности
По формуле бинома Ньютона:
Полагая , получим:
(1)
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величинывозрастают. Поэтому последовательность—возрастающая, при этом
(2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
.
Поэтому (3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3):.
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквойe. Т.е.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая: