4. 4.Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется условие А^-1*А=А*А^-1=Е, если определитель матрицы А отличен от нуля, то существует единственная обратная матрица А^-1, которая находится по формуле А*-союзная матрица, состоящая из алгебр дополнений

ТЕОРЕМА всякая невыраженная квадратная матрица А имеет обратную

Матрица, явл невыраженной, если ее определитель не равен нулю

Проверка А^-1*А=Е

5. 5.Решение систем линейных алгебраических уравнений по формуле крамера.

- система m-линейных уравнений с n неизвестными х₁ х₂ х₃ и т д. если все свободные члены (b₁ b₂ b₃) равны нулю, то система называется однородной

Если определитель системы отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формуле

6. 6.Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Если определитель матрицы А отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное

решение, определяемое по формуле А*Х=В →Х=А^-1*В

7. 7.РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУСА.

Рассмотри систем m-линейных матричных уравнений с n неизвестными. Матрица, составленная по этой системе, называется расширенной. Элементарными преобразованиями матрицы, называются след действия: 1. Переставление строк или столбцов

2. умножение строки или столбца на число, отличное от нуля

3. деление строки на число без остатка

4. прибавление(вычитание) к элементам строки или столба соответствующих элементов другой

строки или столбца, предварительно умножив на некоторое число.

Метод Гауса заключается в приведении рассматриваемой матрицы к трапециевидному виду (на диагонали единицы, а ниже нули). С помощью элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы.

8. 8.Линейные операции над векторами.

Свободный вектор а (т е такой вектор, который без изменений длины и направления может быть перенесен в любую сторону пространства) заданный в координатном пространстве (o, x, y, z) может быть представлен в виде a=a_xi+a_yj+a_zk, такое представление, называется его разложение по ортам a_x, a_y, a_z –координаты вектора а, i, j, k – это орты или единичные вектора, длина которых обозначается |a|

|a|=√ a_x²+a_y²+a_z²

Направление вектора а определяется углами αβγ, образованными осями координат ox oy oz, косинусы этих углов, называются направляющими косинусами вектора а и опр по формулам cos α= а_x/|a|, cosβ=a_y/|a|,

cos γ=a_z/|a|

направляющие косинусы вектора связаны с соотношением cos²α+cos²β+cos²γ=1

суммой или разностью двух векторов а и b является a±b=(a_x±b_x)i+(a_y±b_y)j+(a_z+b_z)k произведением вектора а на число t определяется формулой a*t=(t*a_x)i+(t*a_y)j+(t*a_z)k

если вектор а и вектор параллельны м направлены в одну сторону и ту же сторону, то t›0 и наоборот.

Вектор, начало которого находится в начале координат, а конец в любой другой точке, называется радиус-вектором r=xi+yj+zk

Сложение и вычитание векторов

9. 9.РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ.

Базисом на прямой называется любой не нулевой вектор этой прямой. Базисом на плоскости называется 2 неколлинеарные вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке. Базисом в пространстве называются любые 3 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

Свойства: 1) Каждый вектор коллинеарный какой-либо прямой может быть разложен по базису на этой прямой. 2) Каждый вектор || плоскости может быть разложен по базису этой плоскости. 3) Каждый вектор может быть разложен по базису в R. Компоненты и координаты в каждом случае определяются однозначно.

Разложение вектора по базису. Если дана упорядоченная тройка векторов (a,b,c) некомпланарных векторов, то для любого вектора p существует единственная упорядоченная тройка чисел (x,y,z), удовлетворяющая равенству p=xa+yb+zc. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.