- •1.Матрицы и операции над ними.
- •2.Определители и их свойства.
- •3.Ранг матрицы.
- •4.Обратная матрица
- •5.Решение систем линейных алгебраических уравнений по формуле крамера.
- •6.Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •8.Линейные операции над векторами.
- •10.Скалярное произведение вектора.
- •11. Векторное произведение векторов
- •12. Смешанное произведение векторов.
- •13. Понятие о линейном векторном пространстве
- •14. Базис. Собственные числа. Собственные вектора.
- •15. Простейшие задачи на плоскости (деление отрезка в заданном соотношении, расстояние между двумя точками).
- •16. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.
- •19. Прямая в пространстве, канонические уравнения
- •20. Элементы теории множеств
- •1. Логические символы
- •2. Операции над множествами
- •21. Функция, область определения, способы задания. Сложная и обратная функции
- •22. Предел функции
- •23. Основные теоремы о пределах
- •24. Замечательные пределы
- •1. Пусть . Каждое значение X заключено между двумя положительными целыми числами:, где— это целая часть X.
- •2. Пусть . Сделаем подстановку, тогда
- •25. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства
- •28. Производная и дифференциал функции одной переменной.
- •30. Правила вычисления производных (диффиринцирования).
- •31. Таблица производных.
- •32.Производная сложных и обратных функций.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •36. (Правило Лопиталя).
- •39. Понятие экстремума, основные теоремы.
- •Необходимое условие экстремума
- •Первое достаточное условие экстремума
- •Второе достаточное условие экстремума
- •40. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба, асимптоты.
- •Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
- •41. Исследование функции и построение графика.
- •42. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.
- •44. Неопределенный интеграл, свойства.
- •45. Таблица интегралов
- •46. Основные методы интегрирования.
- •Свойства
- •49. Замена переменной, интегрирование по частям.
19. Прямая в пространстве, канонические уравнения
Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий векторданной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:
Приведённая запись предполагает, что координаты направляющего вектора не равны нулю. Что делать, если одна или две координаты нулевые, мы рассмотрим чуть позже.
Пример 1
Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору
Решение: Канонические уравнения прямой составим по формуле:
Ответ:
20. Элементы теории множеств
1. Логические символы
Квантор - заменяет выражение "для любого", "для произвольного", "для какого бы ни было".
Квантор - заменяет выражение "существует", "найдется".
Запись (импликация) означает, что из справедливости высказыванияA вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем . Если, то высказываниеB является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A.
Если предложения A и B справедливы одновременно, то записываем . Если же справедливо хотя бы одно из предложенийA илиB, то записываем .
2. Операции над множествами
Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.
Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в видеA = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:
N - множество всех натуральных чисел; Z - множество всех целых чисел; Q - множество всех рациональных чисел; R - множество всех действительных чисел; C - множество всех комплексных чисел; Z0 - множество всех неотрицательных целых чисел.
Запись (или) означает, что элементa принадлежит множеству A.
Запись (или) означает, что элементa не принадлежит множеству A.
21. Функция, область определения, способы задания. Сложная и обратная функции
Определение. Переменная величина y называется функцией переменной x (обозначается ), если каждому значению x соответствует определенное значение - число y.
Совокупность значений независимой переменной x, для которых определяются значения зависимой переменной y (т.е. значения функции y = f(x)) называется областью определения функции (или областью существования функции) и обозначается - Д.
Совокупность значений y, соответствующих всем значениям , называется областью изменения функции и обозначается - Е.
Функция может быть задана различными способами.
1. Табличный способ задания функции заключается в составлении таблицы
в которой заданным значениям независимой переменной x ставятся в соответствие определенные значения функции y.
2. Графический Функция задается в виде графика (рис. 2).
3. Аналитический способ. Функция задается в виде формулы, например:
Функция называется элементарной, если она задана одной формулой посредством конечного числа операций: сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции - над основными элементарными функциями.
Основными элементарными функциями называются:
Пример элементарной функции:
Пример неэлементарной функции:
Определение. Пусть область Д симметрична относительно нуля. Функция f(x), , обладающая свойством: f(-x) = f(x) при всех, называется четной функцией.
Определение. Пусть область Д симметрична относительно нуля. Функция f(x), , обладающая свойством: f(-x) = - f(x) при всех, называется нечетной функцией.
Например: функции y = x2, y = cosx - четные, а y = x3, y = sinx - нечетные.
Определение. Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0, если существует число T > 0 такое, что y(x + T) = f(x) для всех
Например: y = sinx - периодическая функция с периодом T = 2π.
Определение. Пусть функция z = φ (x) определена в некоторой области Д, а функция y = f(x) определена для всех x в области X, при этом все y = f(x) лежат в области Д. Тогда переменная z через посредство y и сама является функцией от x: z = φ [f(x)], . Полученная функция от функции называется сложной функцией.
Пример. - сложная функция, так как где U = sinx. При этом x таков, что(область определения функции)