1. 1.Матрицы и операции над ними.

МАТРИЦЫ- это прямоугольная система чисел m*n, расположенных в m строках и n столбцах.

Нулевая матрица- это матрица, состоящая из нулей.

Единичная матрица – это матрица, элементами главной диагонали которой являются единицы, а все остальные нули.

Квадратная матрица- это матрица, элементы которой расположены симметрично относительно главной диагонали

Транспонированная матрица- это матрица, полученная из данной путем замены строк на столбцы

Операции: 1. Суммой двух матриц А и В, называется матрица, определенная равенством

2.разность двух матриц, аналогична сумме

3. произведение числа К на матрицу А, называется матрица, определяющаяся равенством

4. произведение двух матриц А и В, обозначаемое символом АВ, называется следующее равенство

2. 2.Определители и их свойства.

Определитель (детерминант) квадратной матрицы — это число, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим правилам.

Свойства:

1. Для любой квадратной матрицы при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя "равноправны": любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.

2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю

3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный (свойство антисимметричности):

4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:

5. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:

3. 3.Ранг матрицы.

Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим

определитель k-ого порядка. Наибольший из порядков таких миноров называется

рангом матрицы. Ранг матрицы не изменяется при проведении элементарных преобразований. Преобразования: 1) отбрасывание строки или столбца, состоящих из одних нулей; 2)умножение всех эл-ов к.-л. строки или столбца матрицы на одно и то же число, отличное от 0; 3)изменение порядка строк или столбцов матрицы; 4)прибавление к каждому эл-ту к.-л. строки или столбца эл-ов др. строки или столбца, умноженных на одно и то же число, не равное 0; 5) транспонирование матрицы

n=1, порядок матрицы равен 1, т е А(а₁₁), тогда определителем такой матрицы является сам её элемент

n=2, тогда определителей матрицы определяется

n=3, определитель матрицы определяется

определитель n-ого порядка равен сумме произведений всех элементов какой-либо строки или столбца на соответствующее алгебраическое дополнение

алгебраическое дополнение(A_ij) элемента(a_ij), есть минор (M_ij) умноженный на (-1)^i+j , где i-строка j-столбец

минором M_ij элемента a_ij называют определитель порядка n-1 получающийся из определителя вычеркивание строки и столбца

количество алгебраических дополнений совпадает с количеством элементов матрицы.