152 Условия задач

Задача 257.

Даётся фрагмент из японской таблицы умножения:

коконоцу × мицу = нидзюсити¯ коконоцу × муцу = ?

Задание. Заполните пропуски.

Задача 258.

Даны вычисления на датском языке, причём числа переданы числительными в их полной форме, употребляемой обычно лишь в официальных документах (приведена приближённая запись произношения этих числительных).

1)fem × fir = tyve

2)fem × fem = femotyve

3)fireofirsinstyve + seks = halvfemsinstyve

4)seksotresinstyve + niden = femofirsinstyve

5)femden + femotresinstyve = firsinstyve

6)treden + ? = niotyve

7)seks × ni = ?

8)niotresinstyve + fireotyve = ?

Задание. Заполните пропуски.

Математические и логические задачи

Задача 259.

Даны числа в записи китайскими иероглифами:

Задание 1. Запишите иероглифами: 41.478.599.005.616 .

Задание 2. Опишите, чем китайский способ записи чисел отличается от привычного для нас.

Задача 260.

Итогом работы трёх научных коллективов явилось издание трёх толковых словарей. Известно, что все слова, которые можно найти одновременно в словарях I и II, являются также общими и для словарей II и III.

Задание. Можно ли на основании этих сведений утверждать, что все слова словаря I входят в словарь III? Докажите свою точку зрения.

Задача 261.

Чтобы проводить сортировку писем автоматически, Министерство связи ввело специальные индексы, которые состоят из цифр, имеющих вполне определённое начертание8. В состав каждой цифры могут входить отрезки0123456789??????????девяти типов:

Представьте себе, что машина «опознаёт» цифры, совершая ряд проверок. При каждой проверке определяется, есть ли в начертании цифры какой-то один отрезок; результатом каждой проверки является ответ «да» или «нет». После k проверок каждой цифре будет приписана цепочка из k ответов, например: «да–нет–нет–...» (В определённой последовательности для всех цифр проверяются одни и те же k отрезков, и для каждой цифры должны быть проверены все k отрезков.). Будем говорить, что цифры «опознаются» за k проверок, если в результате k проверок цепочки ответов оказываются у всех цифр различными.

Задание 1. Каково минимальное число проверок, необходимое для опознания 10 цифр в принятом для них начертании?

Задание 2. Определите минимальное число проверок, которое потребовалось бы для 10 цифр в случае, если бы цифры 2, 3, 6 и 9 имели следующие начертания: ????2369

8Такой стандарт почтовых индексов принят в СССР в 1971 г. (тогда задача предлагалась на олимпиаде) и с тех пор применяется в РФ и др. странах бывш. СССР. Автоматическая сортировка так и не была отлажена, однако стандартное написание индексов существенно упростило ручную сортировку.

Задача 262.

В устной речи обычно нет такого чёткого указателя границы между словами, как пробел в письменном тексте. Поэтому не всегда можно однозначно разделить текст на слова, особенно если это текст на незнакомом языке. Ниже приводится часть фразы на японском языке, записанная в русской транскрипции без пробелов между словами, и фрагмент словаря, содержащий, в частности, и все слова, входящие в данную фразу: какикуэбаканэганарунари.

Задание. Определите, сколькими способами, используя приводимый словарь, можно было бы разделить данную фразу на слова. Объясните своё решение.

Задача 263.

Пять одних и тех же грузинских пятибуквенных слов расположены в столбики пятью различными способами: в одном из столбиков по алфавитному порядку первых букв (то есть так, что первые буквы этих слов стоят в том же порядке, что и в грузинском алфавите), в другом — по алфавитному порядку вторых букв и так далее.

moajebnaandobdumbobandiI e dumbomoaandobjebnabandiII e dumbobandijebnaandobmoaIII e andobbandidumbomoajebnaIV e dumbobandimoaandobjebnaV e

Задание. Для каждого столбика определите, по порядку каких букв расположены в нём слова. Объясните своё решение.

• Примечание. Направление грузинского письма — горизонтальное,

слева направо (такое же, как и у русского).

Задача 264.

В гавайском языке имеются гласные звуки i, e, a, o, u, причём гласный звук может быть долгим или кратким, и согласные p, k, P, m, n, w, l, h.

Каждый слог состоит либо из одного гласного звука, либо из одного согласного и одного следующего за ним гласного. В слове не могут стоять рядом два гласных одинакового качества, например, «a» краткое и «a» долгое, два кратких «а» или два долгих «а».

Задание 1. Определите, сколько можно составить двусложных гавайских слов, произносящихся по-разному.

Задание 2. Гавайское письмо несовершенно: на письме не обозначается долгота и краткость гласных; кроме того, никак не отражается на письме согласный P. Определите, сколько можно составить двуслож-

ных гавайских слов, которые пишутся по-разному.

Задание 3. Приведите пример четырёхсложного слова, которое можно прочесть по-гавайски наибольшим числом способов.

Задача 265.

А. Н. Петров, Б. М. Петров, Г. К. Петров,

К.М. Петров,

К.Т. Петров, М. М. Петров, М. Н. Петров, Н. М. Петров, Н. К. Петров, Н. Т. Петров, Т. М. Петров

являются представителями одного рода.

Задание. Определите генеалогическое древо (схему родства) рода Петровых, если известно, что у каждого отца было два сына; внуков у основателя рода четыре, а у его сыновей —по два.

Докажите, что задача имеет единственное решение.

Задача 266.

В арабском языке 28 согласных звуков и 6 гласных, из них 3 кратких и 3 долгих. Слова в этом языке составляются из звуков по следующим правилам:

а) первый звук слова — согласный, второй —гласный; б) не могут встречаться два гласных подряд; в) не могут встречаться три согласных подряд;

г) после долгого гласного не могут идти два разных согласных подряд.

Задание. Сколько разлиных слов, состоящих из 5 звуков, можно составить в соответствии с правилами этого языка?

Задача 267.

Даны пять правил подстановки:

1. D → AB

2. A → CD

3. B → b

4. C → c

5. D → d

Правила означают следующее: если в какой-либо последовательности букв можно отыскать левую часть какого-либо из пяти правил, то её разрешается заменить правой частью этого правила и переписать последовательность в новом виде, не меняя остальных букв. После этого можно опять постараться применить какое-либо правило и т. д.

Задание 1. Какие из следующих последовательностей можно получить из буквы D применением какого-либо числа раз правил 1–5:

bb, bbc, bbcd, bbcdd, bd, cbd, bdc, b, cdb, cb, cc, ccd, ccdbb, ccccd ?

Задание 2. Охарактеризуйте все последовательности строчных букв, которые могут получиться из буквы D путём применения правил 1–5 и к которым уже нельзя применить ни одного из этих правил.

Можно дополнить правила 1—5 правилами 6, 7, 8 следующего вида. Для каждой из букв b, c, d укажите часть речи русского языка и грамматические характеристики, например, правило 6 может иметь такой вид:

6. b → существительное среднего рода

в предложном падеже единственного числа

Применение такого правила состоит в замене буквы, указанной в левой части, любым русским словом той части речи, которая указана в правой части, и именно с теми грамматическими характеристиками. Так, применяя правило, приведённое в качестве примера, к последовательности bbdcb, можно получить следующее:

олове + окне + d + c + имении

(затем в такой последовательности можно будет заменить буквы c и d на русские слова согласно правилам 7 и 8, по типу аналогичным правилу 6).

Задание 3. Придумайте такие правила 6, 7, 8, чтобы любые последовательности слов, порождаемые правилами 1–8, после расстановки нужных запятых и точки в конце и отбрасывания плюсов превращались в грамматически правильные русские предложения.

Задача 268.

Будем рассматривать последовательности, состоящие только из букв A и B (например, AABABB, AA, B и т. п.). Разрешается преобразовывать каждую из последовательностей следующим образом:

—если в последовательности есть группа BA (подряд и именно в этом порядке), то её можно заменить на ABBB;

—ABBB можно заменить (при тех же условиях) на BA;

—можно вычеркнуть подряд идущую группу AA или BBBB; —между любыми двумя стоящими рядом буквами последовательно-

сти, или левее всех букв, или правее всех букв можно написать группу

AAили BBBB.

Ккаждой последовательности можно применить любое из этих преобразований, к полученной последовательности — снова любое из этих преобразований и т. д.

Задание 1. Какую цепочку преобразований нужно применить к последовательности AB, чтобы получить из неё последовательность BBBA (известно, что это можно сделать)?

Задание 2. Какую цепочку преобразований нужно применить к последовательности AB, чтобы получить последовательность ABABAB.

Задание 3. Можно ли путём указанных преобразований из последовательности AB получить последовательность ABAB?

158 Условия задач

Задача 269.

Будем рассматривать последовательности, состоящие только из букв A и B (например, AABABB, AA, B и т. п.). Разрешается преобразовывать каждую из последовательностей по правилам, описанным в условии задачи 268. К каждой последовательности можно применить любое из этих преобразований, к полученной последовательности — снова любое из этих преобразований и т. д.

Задание 1. Можно ли путём указанных преобразований из последовательности ABAB получить последовательность AB?

Задание 2. Докажите, что нельзя путём разрешённых преобразований получить из последовательности AB последовательность BA.

Задача 270.

Спомощью римских цифр числа записываются следующим образом:

А.Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 записываются соответственно как I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX.

Б. Числа 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 — как X, XX, XXX, XL, L, LX, LXX, LXXX, XC.

В. Число 100 записывается как C.

Чтобы записать произвольное число от 11 до 99, нужно записать сначала входящие в него десятки и справа —входящие в него единицы; например: XXXIV (34), LXVII (67).

При записи числа от 101 до 199 слева пишется знак «C» и далее — как сказано выше: CXXXIV (134).

Задание. Составьте подробную «формальную инструкцию», следуя которой можно было бы без перехода к десятичной системе сложить любые два числа от I до XCIX, записанные римскими цифрами. Под «формальной инструкцией» понимается набор правил, удовлетворяющих следующим условиям:

1.В правилах можно прибегать к каким угодно операциям (замены, перестановки, приписывания, зачёркивания и т. п.), но они должны быть такими, чтобы их мог выполнить даже человек, не понимающий, что означают римские цифры.

2.Должно быть понятно, в каком порядке нужно выполнять ваши правила. Договоримся, что все правила должны быть пронумерованы: правило 1, правило 2 и т. д. — и применяются по порядку номеров: к исходным числам применяется 1-e правило, затем к тому, что получилось, —2-e правило и т. д. Если некоторое правило невозможно применить, то нужно перейти к следующему.

3.Правила могут иметь вид «Сделай...» или «Если..., то сделай...».