Глава 1. Элементы линейной алгебры

Алгебра – часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Термин «Алгебра» происходит от названия сочинения Мухаммеда аль-Хорезми «Альджебр аль-мукабала» (9 в.), содержащего общие приемы для решения задач, сводящихся к решению алгебраических уравнений 1-й и

2-й степеней. Ф. Виет (конец 16 в.) первым стал применять буквенные обозначения, как для неизвестных, так и для заданных в задаче величин. К середине 17 века в основном сложилась современная алгебраическая символика и тем самым завершилась «предыстория» алгебры. Исторически первым разделом алгебры была теория линейных уравнений, в которой в связи с решением систем линейных уравнений возникает понятие определителя. В 1750 году Г. Крамер публикует свои формулы для решения квадратных систем линейных уравнений. Затем появляется понятие матрицы, и в 1849 году К. Гаусс открывает свой метод решения этих систем. В 1877 году вводится понятие ранга матрицы, которое позволило явно выразить условия совместности систем линейных уравнений. (см. ниже теорему Кронекера-Капелли).

§1. Числовые матрицы

О пределение 1. Числовой матрицей называется прямоугольная таблица чисел

Числа a_ij называются элементами матрицы. Для краткости матрицы обозначаются большими буквами А, В, С (возможно с числовыми индексами), или следующим образом: (a_ij), i = 1, ..., m; j = 1, ..., n. Запись m  n называется видом матрицы, где m - число строк и n - число столбцов этой матрицы. При этом понятия строки и столбца очевидны.

Пример 1. Матрицы и их виды:

Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой, обозначение: . Если в матрице одинаковое число строк и столбцов (m = n), то она называется квадратной, в такой матрице элементы a₁₁, a₂₂, ... , a_nn называются диагональными. Квадратная матрица вида nn, у которой диагональные элементы равны 1 и остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается E_n :

Матрицы А и В называются равными, если они одинакового вида и на соответствующих местах у них стоят одинаковые числа, обозначение: A = B.

Первое очевидное и наиболее широкое применение матриц – это использование матриц для записи и передачи числовой информации при описании или исследовании каких-либо массовых явлений или процессов. При этом исходные числовые данные соответствующим образом систематизируются и записываются в виде числовой матрицы. Тем самым, автоматически происходит классификация информации (по строкам или столбцам), а это позволяет оперативно и достаточно наглядно производить внешний анализ исследуемого явления или процесса.

Пример 2. Матрицей может быть представлена информация о взаимных поставках продукции отраслей материального производства. Пусть следующая матрица А определяет взаимные поставки продукции трех отраслей:

1) химической промышленности, 2) станкостроения, 3) электроэнергетики,

З десь элементы а₁₁ = 2 , а₁₂ = 4, а₁₃ = 5 означаютобъемы продукции химической промышленности, потребляемые соответственно в химической промышленности, станкостроении, электроэнергетике; а₂₁ = 3, а₂₂ = 1, а₂₃ = 2  объемы продукции станкостроения, потребляемые соответственно в химической промышленности, станкостроении, электроэнергетике; а₃₁ = 4, а₃₂ = 8, а₃₃ = 7 объемы продукции электроэнергетики, потребляемые соответственно в химической промышленности, станкостроении, электроэнергетике. Сравнение строчек этой матрицы показывает, что электроэнергетика является наиболее ёмкой, а станкостроение наименее ёмкой среди этих отраслей. Сравнение столбцов показывает, что продукция химической промышленности является наименее востребованной.

П ример 3. Матрицей можно представлять информацию о нормах материальных затрат для планирования снабжения предприятия. Пусть следующая матрица В определяет нормы затрат трех видов сырья на производство трех типов некоторой продукции:

Тогда, например, элементы а₁₁ = 2, а₁₂ = 0, а₁₃ = 5 означают нормы расхода 1-го вида сырья на производство 1-го, 2-го и 3-го типов продукции, при этом а₁₂ = 0 означает, что 1-й вид сырья не используется в производстве 2-го типа продукции.

Пример 4. С каждым человеком связан набор его социальных данных: пол, возраст, рост, вес, образование, адрес, черты характера и т. п. Тогда, например, студента Ивана Петрова можно охарактеризовать матрицей-строкой вида:

(муж.пол, 17 лет, 172 см, 67 кг, ул. Червонная 8-2, холерик).

Набор таких сведений о каждом из 25 студентов некоторой группы, записанный в виде таблицы, является матрицей вида 256. Теперь, например, можно ввести суммарные или средние показатели по столбцам и производить некоторые сравнения подобных групп по указанным данным.

Но очевидно, что более глубокий анализ изучаемого явления или процесса с помощью математики требует введения специальных операций над матрицами и установления связи матриц с другими математическими понятиями. Поэтому ниже определяются основные операции над матрицами, и показывается, что матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений и при описании линейных пространств и линейных преобразований.

Пусть А = (a_ij) и В = (b_ij), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n, матрицы одинакового вида. Произведением матрицы A на число k называется матрица kA, элементы которой получаются путем умножения всех элементов матрицы А на число k :

kA = (ka_ij), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.

Матрица (1)·A называется противоположной для А и обозначается через –А. Суммой матриц А и В называется матрица А + В, элементами которой являются суммы соответствующих элементов этих матриц:

А + В = (a_ij + b_ij), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.

Аналогично, разностью матриц А и В называется матрица

А – В = (a_ij – b_ij), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.

Транспонированной матрицей для А называется матрица A^T, в которой каждая i-я строка матрицы А становится i-м столбцом и каждый j-й столбец становится j-й строкой:

A^T = (a_ji), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.

П ример 5. Выполнить следующие действия над матрицами.

Произвд

е

ение двух матриц. Рассматриваются матрицы А = (а_ik), i = 1, ..., m, k = 1, ..., l, вида m l и В = (b_kj), k = 1, ..., l, j = 1, ..., n, видa l  n. При умножении А на В получается матрица АB = (c_ij), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n, вида m n, элементы которой c_ij вычисляются по формуле:

с_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_ilb_lj .

Это сумма произведений элементов i-й строки на соответствующие элементы j-го столбца. Обратите внимание на то, что число столбцов первой матрицы А должно быть равно числу строк второй матрицы В, при нарушении этого условия матрицы нельзя умножать.

П ример 6. Выполнить умножение матриц.

Для введенных операций над матрицами выполняются многие свойства аналогичные свойствам арифметических операций над числами. Например, верны следующие равенства (справа указаны названия свойств, выражаемых этими равенствами):

1. A + В = В + А; (коммутативность сложения)

2 . А + (В + С) = (А + В) + С;

3. k(АВ) = (kАВ) = (АkВ); (ассоциативность)

4 . А(ВС) = (АВ)С;

6. k(A + B) = kA + kB. (дистрибутивность)

7. (A + B)C = AC + BC.

8. А – А = (свойство противоположных матриц)

9. E_nA = AE_n = A. (свойство единицы)

С другой стороны, умножение матриц существенно отличается от умножение чисел, например: произведение АВ может отличаться от ВА, и произведение ненулевых матриц может равняться нулевой матрице.

В результате выполненных действий получены различные матрицы, что и требовалось показать.

Пример 8. Выполнить умножение матриц: