Свойства определителей

1. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.

2. Если в определителе поменять местами две строки (или два столбца), то он изменит только знак.

3. Если определитель содержит две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.

4. Если определитель содержит строчку (или столбец), состоящую из нулей, то он равен нулю.

5. Если элементы какой-либо строки (или столбца) определителя умножить на одно и то же число, то и определитель умножится на это число.

6 . Если элементы какой-либо строки (или столбца) определителя являются суммами двух чисел (b_i1+c_i1, b_i2+c_i2, …, b_in+c_in), то имеет место следующее равенство:

7. Если к элементам какой-либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

Д оказательство (см. [1. с. 152]).

Пример 13. Вычислить определитель, применяя указанные свойства.

Решение. Сначала определитель преобразуется так, чтобы в 1-м столбце было два нуля. Для этого применяется свойство 7, согласно которому определитель не изменится в результате следующих преобразований. Элементы второй строки умножаются на (2) и прибавляются к соответствующим элементам первой строки; затем элементы второй строки умножаются на ( 4) и прибавляются к соответствующим элементам третьей строки. Получается равный определитель, который разлагается по 1-м столбцу.

§3. Обратная матрица

Определение 3. Пусть А  квадратная матрица вида nn, тогда обратной матрицей для А называется матрица (обозначение: А^1 которая при умножении на А слева и справа дает единичную матрицу Е_n:

АА^1 = А^1А = Е_n . (1)

Для матрицы А = вида 22 обратную матрицу А^1 можно находить по формуле: А^1 = , (см. ниже пример 15).

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю; а если определитель матрицы не равен нулю, то она называется невырожденной.

Т еорема 1. Невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу А^1, и верна формула

Доказательство (см. [1. с. 188]).

Стоящая здесь матрица составлена из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы и называется присоединенной [1, с.189].

Р ешение. Указанными выше методами находится определитель= 2. Так как   0, то  - невырожденная, и имеет обратную матрицу. Для ее построения вычисляются алгебраические дополнения:

Р авенство А^-1А = Е₃ выполняется, второе равенство АА^-1 = Е₃ будет выполняться автоматически. Ответ:

Пусть А, В – матрицы и Х – буква, тогда равенство АХ = В называется матричным уравнением. Если А имеет обратную матрицу А^1, то решение этого уравнения находится с помощью умножения слева обеих частей на А^1:

А^1(АХ) = А^1В. Получается: Х = А^1В - это решение данного уравнения.

Если матричное уравнение имеет вид ХА = В, то его решение имеет вид:

Х = ВА^1.

Пример 15. Решить матричные уравнения:

Решение. 1). В первом уравнении А= , |A| = 23  51= 1, А^1 = Тогда Х = А^1В =

2). Во втором уравнении А = , |A| = 2, А^1 = = Тогда

Х = ВА^1=