Глава 5. Введение в математический анализ

§1. Числовые функции

Рассматривается некоторый переменный процесс (например: физический, химический или социальный), и в нем наблюдаются некоторые ве­личины, значениями которых являются числа (например: вес, температура, расстоя­ние, стоимость, прибыль и т. п.). Величины разделяются на постоянные и пере­менные: постоянные величины принимают одно и то же значение в течение всего процесса, переменные величины могут принимать различные значения. Постоянные величины обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а, b, c (возможно с некоторыми дополнительными индексами), также они называются константами. Переменные величины обозначаются последними буквами: х, y, z, t (воз­можно с индексами), и называются переменными. Конкретные значения переменных х или y обозначаются теми же буквами с дополнительным числовым индексом, например, х₀ или y₁.

Между величинами могут быть разного рода зависимости, среди которых центральное место занимает функциональная зависимость.

Определение 1. Пусть каждому значению переменной х соответствует определенное значение переменной у, тогда говорят, что у функционально за­висит от х, или у есть функция от х. При этом х называется независимой переменной или аргументом, и у  зависимая переменная или функция. Закон соответствия между значениями переменных х и у обозначается буквами f, g, и используются записи вида: у = f(x), у = g(x) или, просто, f(x), g(x).

Если значению ар­гумента х_о соответствует значение у_о функции f(x), то говорят, что функция f(x) определена в точке х_о и у_о  ее значение в этой точке, обозначение: y_о= f(x_о). Множество всех значений х, в которых функция f(x) определена, называется об­ластью определения f(x), обозначение: D_f .

D_f = {x / f(x) определено}.

Множество всевозможных значений функции f(x) называется областью значений f(x), обозначение: Е_f = {у / х(у = f(x))}.

Если функция f(x) определена о всех точках, то она называется всюду опреде­ленной функцией; в противном случае, f(x) не всюду определенная или частич­ная функция. Рассматриваются следующие способы задания функций.

1. Аналитический способ. Это задание функции некоторой формулой, например:

у = (х  3)³, у = 5х /(x²+3x+5), у = log₂ (4x + 2), у = е^х.

Это наиболее полный и универсальный способ задания функции.

2. Табличный способ. Наиболее употребительные значения аргумента x и соот­вествующие им значения функции f(x) выписываются в виде таблицы. Напри­мер:

x	0	1	2	3	4	5
f(x)	0,001	0,036	0,125	0,45	0,304	0,084

Этот способ позволяет быстро находить нужные значения функции.

3. Графический способ. Это задание функции с помощью графика. Графиком функции у = f(x) в декартовой системе координат называется множество всех точек М(х; у), координаты которых удовлетворяют равенству: у = f(x). Преимущество этого способа  наглядность.

Определение 2. Функция у = f(x) называется чётной, если ее область определения сим­метрична относительно нуля и выполняется тождество:

f(x)  f(x).

Точки М₁(х; у) и М₂(х; у) являются симметричными относительно оси ОY. Из данного определения следует, что в случае четной функции у = f(x) для таких точек одновременно выполняются (или не выполняются) равенства: у = f(x) и у = f(x), т.е. график четной функции состоит из точек, симметричных относительно ОY. Другими словами, этот график симметричен относительно оси ОУ.

Определение 3. Функция у = f(x) называется нечётной, если ее область определения сим­метрична относительно нуля и выполняется тождество:

f(x)  f(x).

Т очки М₁(х; у) и М₂(х; у) являются симметричными относительно начала координат О. Из данного определения следует, что в случае нечетной функции у = f(x) для таких точек одновременно выполняются (или не выполняются) равенства: у = f(x) и у = f(x), т.е. график нечетной функции состоит из точек, симметричных относительно О. Другими словами, этот график симметричен относительно начала координат О.

Пример 1. 1).Четные функции:

Д ействительно, эти функции удовлетворяют тождеству из определения 2: (х)² = х²; и т. д.

2). Нечетные функции:

Действительно, эти функции удовлетворяют тождеству из определения 3:

(х)³ = х³; и т. д.

Определение 4. Функция f(x) называется возрастающей на интервале (a; b), если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. для всех х₁, х₂(a; b) выполняется соотношение:

x₁ < x₂  f(x₁) < f(x₂).

Функция f(x) называется убывающей на интервале (a; b), если на этом интервале большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. для всех х₁, х₂(a; b) выполняется соотношение:

x₁ < x₂  f(x₁) > f(x₂).

Пример 2. 1). Возрастающие функции на (; +):

2). Убывающие функции на (; +):

3). Функции, убывающие на (; 0) и возрастающие на (0; +):

Например, возрастание функции у = (2х + 3) доказывается следующим образом. Рассматривают f(x) = (2х + 3) и произвольные числа x₁ < x₂. Тогда выполняется неравенство (x₁ – x₂) < 0, а отсюда следует, что f(x₁)  f(x₂) = (2х₁+3)  (2х₂+3) = 2(x₁ – x₂) < 0, т. е. f(x₁) < f(x₂). Таким образом, у = (2х + 3) удовлетворяет первому соотношению из определения 4, следовательно, эта функция возрастающая.

Определение 5. Функция f(x) называется ограниченной на (a; b), если существует число М такое, что все значения функции f(x) на (a; b) не превосходят М по абсолютной величине, т. е. для всех х(a; b) выполняется неравенство: |f(x)|  М.

Если же f(x) принимает сколь угодно большие значения на (a; b), то она называется не­ограниченной функцией, т.е. для любого числа М найдется значение х(a; b) такое, что |f(x)| > М.

Пример 3. 1). Ограниченные функции:

Здесь значения первых трех функций заключены в сегменте [1; +1], значения четвертой и пятой функций заключены в интервалах , соответственно (см. ниже чертеж 30).

2). Неограниченные функции:

Эти функции могут принимать сколь угодно большие значения ( см. ниже чертежи 23-25, 29).

Над функциями можно производить такие же операции, как над числами, согласно следующим определениям.

Суммой функций f(x) и g(x) называется функция (f + g)(x), значениями которой являются суммы соответствующих значений этих функций:

(f + g)(x) = f(x) + g(x).

Произведением функций f(x) и g(x) называется функция (fg)(x), значениями которой являются произведения соответствующих значений этих функций:

(fg)(x) = f(x)g(x).

Аналогично определяются другие математические операции над функциями, например: (f  g)(x) = f(x)  g(x); .

Определение 6. Суперпозицией функций y = f(x) и y = g(x) называется функция (обозна­чаемая через fg), значениями которой являются значения функции f(x) от соот­ветствующих значений функции g(x): (fg)(x) = f(g(x)). Говорят также, что fg – результат подстановки функции g(x) в функцию f(x).

Пример 4. а) пусть f(x) = x³ и g(x) = 1+ х² , тогда

(fg)(x) = (1 + х²)³ и (gf)(x) = 1 + (x³)² = 1 + x⁶;

б) пусть f(x) = и g(x) = lоg₂х, тогда

(fg)(x) = и (gf)(x) = lоg₂( ) = lоg₂х.