Глава 7. Интегральное исчисление

§1. Неопределенный интеграл

Интегрирование – это операция, при которой по производной некоторой функции восстанавливается сама функция, т. е. это - операция, противоположная диффе­ренцированию. Для более строгого определения этой операции вводятся следующие понятия.

Определение 1. Первообразной функции f(x) на некотором ин­тервале (a; b) называется функция F(x), производная которой равна f(x) на этом интервале, т. е. для любого х(a; b) выполняется равенство:

F (x) = f(x). (48)

Пример 1. а). Пусть f(x) = 3х², тогда первообразная равна F(x) = х³ .

Проверка: F¢ (x) = (х³)′ = 3х² = f(x) - верно.

б). Пусть f(x) = е^2х+3, тогда первообразная равна F(x) = 0,5е^2х+3 .

Проверка: F¢ (x) = (0,5е^2х+3)′ = 0,5∙2е^2х+3 = е^2х+3 = f(x), верно.

Следующие два свойства дают основной способ описания всех первообразных данной функции.

Свойство 1. Если F(x) – первообразная функции f(x) на (a; b), то для любого числа с функция F(x) + с так же является первообразной функции f(x) на (a; b).

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная функции f(x) на (a; b), тогда верно равенство (48), и для любого числа с выполняются равенства: (F(x) + с) = F(x) + с = f(x). Таким образом, функция F(x) + с удовлетворяет (48), поэтому она является первообразной f(x). Свойство доказано.

Свойство 2. Если F₁(x) и F₂(x) – первообразные одной и той же функции, то эти функции отличаются друг от друга на постоянное число: F₁(x) – F₂(x)  с.

Доказательство. Пусть F₁(x) и F₂(x) – первообразные функции f(x), тогда каждая из них удовлетворяет равенству (48), и выполняется тождество: (F₁(x)  F₂(x))= f(x) f(x)  0. Следовательно, по теореме 3 из §5 главы 5, разность F₁(x)  F₂(x) есть постоянное число, что и требовалось доказать.

Согласно этим свойствам, все первообразные функции f(x) имеют вид F(x) + с, где F(x) – некоторая первообразная этой f(x) и с – произвольное число. Поэтому формула F(x) + с описывает множество всех первообразных функции f(x).

Определение 2. Неопределенным интегралом функции f(x) на­зывается множество всех первообразных этой функции.

Обозначение: f(x)dx. В этой записи первый символ  называется интегралом, f(x) – подынте­гральная функция, х – переменная интегрирования, dx – дифференциал х.

В силу свойств первообразных, имеет место следующее равенство:

 f(x) dx = F(x) + c, (49)

где F(x) – некоторая первообразная функции f(x) и c – символ константы.

Если функция f(x) имеет первообразную на интервале (a; b), то она называется интегрируемой на (a; b).

В следующей таблице указаны основные формулы для нахождения интегралов от элементарных функций. Эти формулы называются табличными интегралами.

Таблица основных интегралов

1 .  xⁿ dx = , если n  1; в частности:

2.  dx = ln|x| + c ; в частности:

3. в частности:

6 .

7.

8.

9 .

Для проверки этих формул нужно вычислить производную от правой части и убедиться, что в результате получается подынтегральная функция.

Пример 2. Доказать интеграл  xⁿ dx = , где n  1.

Доказательство. Вычисляется производная от правой части: = + 0 = xⁿ. Получилась подынтегральная функция, интеграл доказан.