Глава 2. Аналитическая геометрия

Основными понятиями аналитической геометрии являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые линии и поверхности 2-го порядка). Основными средствами исследования служат метод координат и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат связано с бурным развитием астрономии, механики и техники в 17 в. Отчетливое и полное изложение этого метода и основ аналитической геометрии было сделано Р. Декартом в его «Геометрии» (1637 г.)

§1. Декартова система координат

Числовой осью называется прямая линия, на которой заданы начало отсчета, масштаб и направление.

В А

3 2 1 О 1 2 3 4 5 Х

Черт.1.

Координатой точки на числовой оси называется расстояние от начала отсчета О до этой точки, взятое со знаком "+", если направление от О до точки совпадает с направлением оси, и со знаком "", если направление до точки противоположное направлению оси. Например, на чертеже 1 координаты точек А и В равны (+3) и (1) соответственно.

Декартова система координат на плоскости ОХY  это две перпендикулярные числовые оси, лежащие в плоскости, с общим началом отсчета О и занумерованные. Эти оси называются осями координат, при этом первая ось обозначается ОХ и называется осью абсцисс, вторая ось ОY называется осью ординат; точка О  начало координат. Декартовыми координатами точки на плоскости ОХY называются координаты проекций этой точки на оси ОХ и ОY. Первая координата называется абсциссой, вторая  ординатой.

Например, на чертеже 2 точки С, D, E, M имеют координаты (3; 2), (2; 3,5), (1; 3), (2; 2).

Р асстояние между точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) обозначается |М₁М₂| и вычисляется по формуле:

Пример 1. Найти расстояние между точками А(3; 14) и В(5; 8). Решение. Применяется формула (15), здесь x₁ = 3 y₁ = 14, x₂ = 5, y₂ = 8. Тогда

Y

D 3

2 C

1

X

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

-2 M

E -3

Черт.2.

Говорят, что точка М делит отрезок АВ в отношении k, если выполняется условие

Пусть точки А и В имеют координаты (х₁, у₁) и (х₂, у₂) соответственно, а точка М имеет координаты (х, у). Тогда координаты М вычисляются по формулам:

Эти формулы называются формулами деления отрезка в заданном отношении. В частности, если М – середина отрезка АВ, то ее координаты находятся по формулам:

Данное определение распространяется и на случаи, когда k < 0, при этом точка М будет располагаться на продолжении отрезка АВ, но формулы (16) сохраняются.

Пример 2. Найти точку М, делящую отрезок АВ в отношении k, если

а) точки А и В имеют координаты (3; 2), (3; 1) и k = 2;

б) точки А и В имеют координаты (3; 3), (1; 1) и k = 2.

Решение. Применяются формулы (16). а). Здесь x₁ = 3y₁ = 2, x₂ = 3, y₂ = 1, k = 2. Тогда х = (3 + 23):3 = 1; у = (2 + 21):3 = 0. Точка М имеет координаты (1; 0).

Y Y

A _

¹ B 3 o 1 5 X

^{3 0 1} X _1 B

M

A ^2

5 M

a) б)

Черт.3.

б). Здесь x₁ = 3y₁ = 3, x₂ = 1, y₂ = 1, k = 2. Тогда х = (3  21):(1) = 5; у = (3  2(1)):(1) = 5. Точка М имеет координаты (5; 5).

Пример 3. Определить середину отрезка АВ, если точки А и В имеют координаты (2; 5), (4; 3) соответственно.

Решение. Применяются формулы (17). Пусть М (х, у) – середина АВ, тогда х = (2 + 4):2 = 1; у = (5 + 3):2 = 4. Точка М имеет координаты (1; 4).

Произвольную линию на плоскости можно рассматривать как след движущейся точки. Такой точкой может быть остриё карандаша (кончик пера или острый край куска мела), с помощью которого эта линия рисуется на листе бумаги. В декартовой системе координат ОХY, эта точка обозначается через

М(x; y) и называется текущей точкой данной линии, а ее координаты x, y называются текущими координатами. Например, если точка М движется на плоскости, сохраняя неизменным расстояние R от некоторой неподвижной точки С, то она описывает окружность радиуса R с центром в точке С. Если точка М переходит из одного своего положения в любое другое по кратчайшему пути, то она описывает прямую линию.

Пусть F(x, y) = 0 – уравнение от переменных х, у, и L  некоторая линия на плоскости ОХY. Говорят, что точка А с координатами (а; b) удовлетворяет уравнению F(x, y) = 0, если ее координаты а, b при подстановке в уравнение вместо x, y соответственно дают верное равенство: F(а, b) = 0. Уравнение F(x, y) = 0 называется уравнением линии L на плоскости ОХY, если этому уравнению удовлетворяют все точки, принадлежащие L, и только они. Символически это определение выражается формулой:

М(x; y)L  F(x, y) = 0.

В аналитической геометрии каждая линия отождествляется с ее уравнением, и изучение линии сводится к исследованию ее уравнения.