§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве

Декартова система координат в пространстве  это три взаимно перпендикулярные числовые оси, с общим началом отсчета О и занумерованные. Первая ось обозначается ОХ и называется осью абсцисс, вторая ось ОY называется осью ординат, третья ось ОZ называется осью апликат. Декартовыми координатами точки М в пространстве называются координаты проекций этой точки на оси ОХ, ОY, ОZ. Обозначение: М(x; y; z).

Теперь, расстояние между двумя точками М₁(x₁; y₁; z₁) и М₂(x₂; y₂; z₂) находятся по формуле:

Формулы деления отрезка в заданном отношении (2) дополняются еще одной формулой:

Пусть рассматривается какой-то процесс и в нем наблюдаются некоторые величины, которые могут подразделяться на два вида: скалярные и векторные. Скалярной величиной называется величина, которая измеряются одним числом. Например: длина, площадь, объем, вес, температура, работа, энергия, доход – скалярные величины.

Векторные величины измеряются числом и направлением. Например: сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля – векторные величины. Такие величины удобно изображать направленными отрезками, которые имеют длину и направление и изображаются стрелками. Эти направленные отрезки называются векторами. Они обозначаются буквами a, b, c, d c черточкой сверху или через , где первая буква обозначает начало вектора и вторая буква обозначает конец вектора. Длина вектораa или обозначается и называется также модулем вектора.

Два вектораa,b называются равными, если они имеют одинаковые длины, параллельны и направлены в одну сторону, обозначение: a = b. В данном определении не участвуют точки приложения векторовa иb, это означает, что вектор не зависит от своей точки приложения и его можно перемещать параллельно самому себе. В этом смысле рассматриваемые векторы называются свободными векторами. Вектор, длина которого равна 0, называется нуль-вектором и обозначается через 0, его направление произвольное.

Определение 7. Произведением вектора a на число k называется вектор ka, длина которого равна |k||a| и, если k > 0, то его направление совпадает с направлениемa, а если k < 0, то его направление противоположно направлениюa, (см. чертеж 10). Вектор (1)a называется противоположным векторуa и обозначается a.

(–2) a a (+3)a

Черт.10.

Определение 8. Сложение двух и более векторов осуществляется по правилу многоугольника: первый вектор фиксируется, второй вектор параллельно самому себе перемещается в конец первого вектора, затем таким же образом третий вектор перемещается в конец второго вектора и так далее. После размещения всех векторов их суммой является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора и конец совпадает с концом последнего вектора (см. чертеж 11).

a₂

a₃

a₁

a₄

a₁ +a₂+a₃+a₄