§5. Скалярное произведение векторов

Определение 10. Скалярным произведением двух векторова и b называется произведение их модулей на косинус угла между ними, (обозначение: аb ):

Геометрический смысл: скалярное произведение векторов равно произведению алгебраической проекции одного вектора на модуль второго вектора:

Физический смысл: пусть точка М движется вдоль вектораа под действием силы, описываемой векторомb , тогда аb есть работа, совершаемая при этом движении.

Основные свойства

1. аb =ba . (коммутативность)

2. а (b +c ) = аb + аc . (дистрибутивность)

3. Постоянный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

(kа )b = k (ab ).

4. Вектор а с самим собой образует угол 0^о, поэтому скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:а а =|а ||а |, и модуль вектора ра-

вен корню квадратному из его скалярного квадрата: |а | = .

5. Косинус угла 90^о равен 0, поэтому ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0:

а b аb = 0. (условие перпендикулярности)

6. Еслиi, j, k - орты координатных осей OX, OY, OZ , то верны равенства:

i j = 0, i k = 0, j k = 0,i i = 1,j j = 1? k k = 1./

Определение 10. Скалярным произведением двух векторова и b называется произведение их модулей на косинус угла между ними, (обозначение: аb ):

Доказывается следующая формула для вычисления скалярного произведения через координаты векторов:

аb =а_хb_x + а_yb_y + a_z b_z.

Для вычисления угла между векторами:

Пример 17. Определить угол  между а = 2i + 2j k и b = j  k.

Решение. Применяется свойство 8. Здесь а ={2; 2; 1},b = {0; 1; 1},

тогдааb = 20 + 21 + 11 = 3, = 3, = 2. Получается cos = , следовательно,  ^o.

Пример 18. Найти углы АВС с вершинами А(3; 1; 2), В(1; 1; 1),

С(5; 0; 0).

Решение. Для вычисления А находятся векторы и : = {1  3; 1 + 1; 1  2} = {2; 2; 1}, = {5  3; 0 + 1; 0  2} = {2; 1; 2}. Теперь,  = = 22 + 21 + 12 = 0. Следовательно, cosA = 0 и А = 90^о.

Для вычисления В находятся векторы и . Вектор противоположен вектору , поэтому =  = {2; 2; 1}. = {5  1; 0  1; 0  1} = {4; 1; 1}. Теперь, находятся необходимые величины:  =

24 + 21  11 = 9. = 32. Тогда

Сумма углов треугольника равна 180^о, поэтому С ^o.

Ответ: А 90^o, B ^o, С ^o.

§6. Векторное произведение

Определение 11. Векторным произведением вектораа на векторb называется такой третий вектор, обозначаемыйa b, который:

1) имеет модуль, равный произведению модулей этих векторов на синус угла между ними: |ab |=|a||b| sin;

2) перпендикулярен обоим векторам: ab a и ab b;

3) направлен в такую сторону, с которой кратчайшее вращение вектора а в сторону b cовершается против часовой стрелки.

 a b

b

a

Рис. 14.

Геометрический смысл: модуль векторного произведения |ab | численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a иb как на сторонах (см. чертеж 14).

Физический смысл: пусть в конце вектораa приложена сила, изображаемая векторомb, тогдаa b есть момент этой силы относительно начала вектораa.