Основные свойства векторного произведения

1. a b = b a. (антикоммутативность)

2. а  (b +c ) = а b + а c . (дистрибутивность)

3. Постоянный множитель можно выносить за знак векторного произведения:

(kа ) b = k (a b ).

4. При векторном умножении ортов i, j, k используется схема, основанная на следующей записи:

+

i j ki j.



Произведение любых смежных векторов (слева направо) в этой последовательности дает следующий вектор со знаком + , а произведение в обратном направлении (справа налево) дает следующий вектор со знаком . Например: Кроме того, ii =0, jj =0, kk =0.

5. Используя предыдущие формулы и выражение (33), показывается,

что через координаты векторов векторное произведение вычисляется по формуле:

6. Если векторы а и b параллельны, то sin = 0, поэтому векторы параллельны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно0. Определители 2-го порядка, указанные в свойстве 5, равны нулю, если их строки пропорциональные. Тогда сформулированное здесь свойство запишется в виде:

(условие параллельности)

Пример 19. Раскрыть скобки и упростить выражения:

а) х =j (i – k) +k  (j +i) –k  (i –j +k);

б) у = 3j(i k) + 2 k (i j) – 5i (j k).

Решение. а). Согласно свойствам 1, 2, раскрываются скобки и применяется свойство 5: х =

б). Сначала выполняются действия в скобках, затем выполняется скалярное произведение: у = 3j(j) + 2 kk – 5ii =  3 + 2 – 5 = 6.

Ответ: а) k  3i; б) 6.

Пример 20. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(4; 3; 7), В(6; 0; 1), С(2; 5; 4).

Решение. Площадь данного треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. Согласно геометрическому смыслу векторного произведения, эта площадь равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

S_ABC = 0,5|  |.

Здесь = {6 – 4; 0– 3; 1– 7} = {2;3; 6}, = {2– 4; 5 –3; 4 – 7} = { 6; 2; 3}. Тогда

Получается, что S_ABC = 0,5|  | = 0,5(21²+42²+(14)² = 0,549 = 24,5.

Определение 12. Смешанным произведением векторов а,b ис называется выражение вида (а b ) с.

Геометрический смысл: объем параллелепипеда, построенного на векторах а,b ис как на сторонах, равен |(а b ) с|.

В декартовых координатах смешанное произведение векторов а,b,с вычисляется через определитель матрицы, составленной из их координат:

Определение 13. Векторы а,b,с называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны ей.

Условие компланарности векторов. Векторы а,b,с компланарны тогда и только тогда, когда (а b ) с = 0.

Пример 21. Проверить, лежат ли точки A(2; 1; 2), B(1; 2; 1), C(0; 3; 2), D(6; 0; 5) в одной плоскости?

Решение. Эти точки лежат в одной плоскости только в случае, когда векторы , , компланарны. Здесь = {1 + 2; 2 +1; 1– 2} = {3;3; 1}, = {0 + 2; 3 + 1; 2  2} = { 2; 4; 0}, = {6 + 2; 0 +1; 5 – 2} = {4;1; 3}. Теперь проверяется условие компланарности.

Вывод: так как смешанное произведение равно 0, то эти точки лежат в одной плоскости.