Упражнения

1. Построить на координатной плоскости точки А(4; 3), B(2; 5), C(5;2), D(4; 3), E(6; 0), F(0; 4).

2. Определить расстояние между точками:

1) E(2; 7) и F(22; 0); 2) С(2; 3) и D(10;2); 3) А(3; 8) и В(5; 14).

3. Дана прямая 4х 3у  7 = 0. Какие из точек А(2,4; 1), В(3; 2),

С(1; 1), D(0; 2), E(4; 3), F(5; 2) лежат на этой прямой ?

4. Построить прямые: 1) x 2y + 5 = 0; 2) 2x + 3y = 0; 3) 5x2 = 0;

4) 2y + 7 = 0; 5) 4х 5у + 15 = 0; 6) 2x  y = 0; 7) 4x10 = 0; 8) 2y + 3 = 0.

5. Cоставить уравнение прямой, отсекающей на оси Оy отрезок

b = 2 и образующей с осью Oy угол : 1) = 45^o; 2) = 60^o; 3) = 150^o.

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точки: 1) А(2; 3) и В(3; 2); 2) С(2; 4) и D(2; 1); 3) E(3; 8) и F(3; 6); 4) G(1; 3) и H( 4; 3).

7. Показать, что прямые пересекаются, и найти координаты точки пересечения: 1) 3х  2у + 1 = 0 и 2х + 5у  12 = 0; 2) x + 3y7 = 0 и 4x y  2 = 0.

8. Показать, что прямые параллельны:

1) 4х 6у + 7 = 0 и 20х 30у  11 = 0; 2) 2x + y  4 = 0 и 14 х  7у + 1 = 0.

9. Показать, что прямые перпендикулярны:

1) 3х5у + 4 = 0 и 10х + 6у 3 = 0; 2) х + 3у + 7 = 0 и 6х 2у + 1 = 0.

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 5) и

отсекающей на оси ординат отрезок b = 7.

11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 5)

параллельно прямой: 3х + 4у + 1 = 0.

12. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(3; 4) параллельно осям координат.

13. Написать уравнение окружности с центром в С и радиусом R:

1) С(4, 6), R = 3; 2) С(4, 3), R = 2; 3) С(, 0), R = 4.

14. Найти центры и радиусы окружностей:

1) x²  y²  7y = 0; 2) x²  y²  5x  7y + 2,5 = 0. 3) x²  y²  4x  6y  3 = 0.

15. Построить эллипсы, определяемые уравнениями:

16. Написать уравнение эллипса симметричного относительно осей координат, зная, что: 1) его большая полуось равна 5 и параметр с равен 3; 2) эллипс проходит через точку М(4;21), имеет эксцентриситет  = 0,75 и его фокусы находятся на оси Ох; 3) эллипс проходит через точки А(6; 0) и М(23; 6).

17. Построить гиперболы, определяемые уравнениями:

18. Написать уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, зная, что: 1) гипербола проходит через точку М(6; 22) и имеет мнимую полуось b = 2; 2) гипербола проходит через точку М(; 1,55) и имеет вещественную полуось а = 4.

19. Построить параболы, определяемые уравнениями:

1) y² = 9x; 2) x² = 9y; 3) y = (x 2) ²; 4) y = (x 2) ² 3; 5) y = x² 4x + 5.

20. Написать уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ, зная, что: 1) парабола проходит через точки (0; 0) и (2; 8); 2) парабола проходит через точки (0; 0) и (1; 4).

21. Выяснить геометрический смысл уравнений:

1) x²  9y² = 0; 2) x² + 9y² = 0; 3) x²  y² x + 4y  4 = 0;

4) x² + 4y²  6x  8y – 3 = 0; 5) х² + 6x  2y + 5 = 0; 6) y² 8y – 4x = 0;

7) 2x² + 5y²  12x  10y + 13 = 0; 8) x²  4y²  8x  24y – 24 = 0.

22. Построить вектор и найти его длину, если

1) А(1; 2), В(7; 10); 2) А(-2; 1), В(2; 4); 3) А(-1; 2), В(-5; 2); 4) А(0; 0), В(3; 1).

23. Даны точки А(-2; 1), В(1; 2), С(3; -2). Построить векторы

24. Даны точки А(-3; -2), В(1; 2), С(4; 6), D(10; 8). Построить векторы

25. Векторы и перпендикулярны, причем =3 и =5. Вычислить , .

26. Вычислить , если = 13, = 19, =24.

27. Вычислить , если =11, = 23, = 30.

28. Выразить через и вектор , если

1) А(-1; -2), В(-1; 8); 2) А(1; -1), В(-2; 3); 3) А(0; 2), В(-3; 0); 4) А(0; 0), В(-3; 4).

29. Вычислить скалярное произведение векторов и :

1) 2)

30. Определить угол между векторами и :

1) 2)

3) а = {3; 4}, b = {5; 12}; 4) а = {2; 3}, b = {3; 2}.

31. На трех некомпланарных векторах построен параллелепипед . Указать те его вектор-диагонали, которые соответственно равны .

32. Даны три последовательные вершины прямоугольника: А(-3; -2; 0), В(3; -3; 1), С(5; 0; 2). Найти его четвертую вершину D.

33. Даны векторы . Найти

34. Вычислить площадь треугольника с вершинами А, В, С, где:

1) А(3; 3; 4), В(1; 0; 6), С(4; 5; 2); 2) А(1; 2; 8), В(0; 0; 4), С(6; 2; 0).

35. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

;

36. Найти объем пирамиды с вершинами O(0, 0, 0), А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4).

37. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(0; 1; 3) перпендикулярно вектору , где М₂(1, 3, 5).

38. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(0; 1; 3) и М₂(2, 4, 6) параллельно оси ОХ.

39. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОХ и точку М₁(0; -2; 3).

40. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(-4; 0; 4), М₂(4; 0; 0), М₃(0, 3, 0).

41. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А и В:

1) А(1; 2; 3) и В(2; 6; -2); 2) А(2; 1; 3) и В(2; 3; 3).

1. Векторные величины измеряются числом и направлением. Например: сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля – векторные величины. Такие величины удобно изображать направленными отрезками, которые имеют длину и направление и изображаются стрелками. Эти направленные отрезки называются векторами. Они обозначаются буквами a, b, c, d c черточкой сверху или через , где первая буква обозначает начало вектора и вторая буква обозначает конец вектора. Длина вектораa или обозначается и называется также модулем вектора.

2. Из определения алгебраической проекции следует, что если известны декартовы координаты начала А(х₁; у₁; z₁) и конца В(х₂; у₂; z₂) вектора а= , то координаты этого вектора находятся по формулам:

а_х= х₂ – х₁, а_у= у₂ – у₁, а_z= z₂ – z₁, (31)

т. е. от координат конца вычитаются координаты начала.

3. 1). При умножении вектора на число k его координаты умножаются на k:

kа ={kа_х; ka_y; ka_z}.

2). При сложении векторов их координаты складываются:

а +b ={а_х + b_x; а_y + b_y; а_z + b_z}.

Орты координатных осей OX, OY, OZ обозначаются черезi, j, k, cоответственно. Эти векторы имеют следующие координаты:

i = {1; 0; 0}, j= {0; 1; 0},k= {0; 0; 1}.

Произвольный вектор а ={а_х; а_y; а_z} выражается линейно через i, j, k следующим образом: .

4.

79