Глава 4. Основные алгебраические структуры

§1. Алгебраические системы

Алгебраическая система – это тройка объектов (А, Q, R), состоящая из непустого множества А, семейства операций Q и семейства отношений R, определенных на А. Это понятие имеет глубоко разработанную теорию, сформировавшуюся в начале 50-х годов 20 века на стыке между алгеброй и математической логикой.

Множество А называется носителем или основным множеством, а его элементы называются элементами алгебраической системы. Если множество А конечное, то соответствующая ему алгебраическая система (А, Q, R), называется конечной. Операции Q и отношения R называются основными или главными, в отличие от других операций и отношений, которые могут быть определены на А. Каждая операция из Q применяется к определенному числу n элементов множества А, и ее значения должны принадлежать А. Число n называется местностью операции, а сама операция называется n-местной и обозначается в виде w(х₁, х₂, …, х_n). Любое отношение r из R также имеет некоторую местность n и обознается через r(х₁, х₂, …, х_n). Оно применимо к любому упорядоченному набору (х₁, х₂, …, х_n) элементов множества А и его значениями являются истинностные значения И или Л. Каждая операция, и каждое отношение обозначается специальным символом с указанием местности этого объекта. Некоторые элементы множества А выделяются и имеют специальные названия (например, 0 – нулевой элемент, 1 – единичный элемент), такие элементы называются константами. Множество всех символов операций, отношений и констант называется сигнатурой алгебраической системы. Для каждого символа сигнатуры формулируются определенные требования, которым они должны удовлетворять. Эти требования называются аксиомами алгебраической системы.

Основными алгебраическими системами являются группы, кольца, линейные пространства, линейно упорядоченные множества и т. д. Некоторые из этих систем рассматриваются ниже.

Пример 1. 1). Множество натуральных чисел N с константами 0, 1, и обычными операциями сложения, умножения и отношением равенства является алгебраической системой, которая называется арифметикой, обозначение: S = (NÈ{0}; +, × , =) . Символы 0, 1 обозначают ноль и единицу. Аксиомами арифметики являются следующие формулы 1) - 9). Для любых х₁, х₂, х₃ из NÈ{0}:

1) х₁ = х₂ ® (х₁ = х₃ ® х₂ = х₃ ),

2) х₁ = х₂ ® (х₁ +1 = х₂ + 1),

3) 0 ¹ х₁+1,

4) х₁ + 1 = х₂ + 1 ® х₁ = х₂,

5) х₁ + 0 = х₁,

6) х₁ + (х₂ + 1) = (х₁ + х₂ ) + 1,

7) х₁× 0 = 0,

8) х₁ × (х₂ + 1) = (х₁ × х₂) + х₁,

9) (А(0) Ù "х(А(х) ® А(х+1))) ® "хА(х), где А(х) – произвольная арифметическая формула.

Последняя формула описывает не одну аксиому, а схему аксиом, порождающую бесконечное множество аксиом, соответствующих различным арифметическим формулам. Эта схема называется принципом математической индукции.

Группа – основной тип алгебраических систем. Теория групп изучает в самой общей форме свойства алгебраических операций, наиболее часто встречающихся в математике и ее приложениях. Примерами таких операций являются умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т. д.

Истоки понятия группы обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из которых – это решение алгебраических уравнений в радикалах, (конец 18  начало 19 веков). Независимо идея группы возникла в геометрии, когда в середине 19 века на смену единой античной геометрии Евклида, пришли геометрии Лобачевского, Римана и другие, и остро встал вопрос об установлении связей между ними. Третий источник понятия группы – это теория чисел. Осознание основных теоретико-групповых идей привело к тому, что в начале 20 века теория групп становится самостоятельной областью математики.

Определение 1. Группой называется произвольное непустое множество G с одной двуместной операцией * (которую часто называют умножением), которая удовлетворяет следующим аксиомам:

1) ("a, b, cÎG) (a*b)*c = a*(b*c); (ассоциативность)

2) ($еÎG) ("aÎG) a*е = е*а = а; (существование единицы)

3) ("aÎG)($хÎG) a*х = х*а = е. (существование обратного элемента)

Элемент е называется единицей группы G, и элемент х из аксиомы 3) называется обратным элементом для а. При этом множество G должно быть замкнутым относительно основной операции и относительно взятия обратного элемента. В таких случаях группа G называется мультипликативной. Если в группе G выполняется следующая аксиома коммутативности, то G называется абелевой группой.

4) ("a, bÎG) (a*b= b*а). (коммутативность)

Пример 2. Доказать, что множество рациональных чисел, отличных от 0, образует абелеву группу относительно операции умножения.

Решение. Пусть G = . Очевидно, что произведение любых чисел х и у из G снова принадлежит G, и при этом выполняются аксиомы ассоциативности и коммутативности. В качестве единицы группы берется число 1. Тогда обратным элементом для числа из G является число , которое также принадлежит G, так как ¹ 0. При этом . Утверждение доказано.

В качестве основной операции * можно брать операцию сложения +, в этом случае роль единицы е играет нулевой элемент 0, и обратным элементом для а из G является противоположный элемент а. В этом случае группа G называется аддитивной.

Пример 3. Доказать, что множество целых чисел, кратных 3, образует абелеву группу относительно сложения.

Решение. Пусть G = { 3×k / k = 0, ±1, ±2, …}. Сумма любых чисел х и у из G снова принадлежит G. Действительно, если х =3×k₁ и у =3×k₂, то (х + у) = 3×k₁ + 3×k₂ = 3×(k₁ + k₂), и, следовательно, (х + у)ÎG, т.е. множество G замкнуто относительно сложения. При этом известно, что для операции сложения чисел выполняются аксиомы ассоциативности и коммутативности. В качестве единицы берется число 0, которое входит в G и которое удовлетворяет второй аксиоме: х + 0 = 0 + х = х. В качестве обратного элемента для х берется (–х), при этом х +(х) = 0. Утверждение доказано.

Пример 4. Каждой геометрической фигуре можно сопоставить совокупность всех преобразований пространства, совмещающих данную фигуру с ней самой. Эта совокупность вместе с операцией последовательного выполнения преобразований является группой, которая характеризует симметричность фигуры. Такие группы получили название групп симметрий. Исследование этих групп помогло решить задачу о классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся основной задачей кристаллографии. Это был первый случай применения теории групп непосредственно в естествознании.

Аналогичную роль теория групп играет в квантовой механике. Подобные примеры иллюстрируют классифицирующую роль теории групп всюду, где речь идет о симметрии.

Определение 2. Кольцом называется множество K с двумя бинарными операциями, которые обычно называют сложением (+) и умножением (×), при этом

1) K является абелевой группой относительно сложения, и

2) операция умножения удовлетворяет следующим законам дистрибутивности: для любых x, y, z из K:

Кольцо K называется ассоциативным, если умножение в нем удовлетворяет закону ассоциативности: для любых x, y, zK:

Если умножение в кольце коммутативное, оно называется коммутативным. Единицей называется такой элемент 1 кольца K, что для всех х K.

Определение 3. Полем называется множество Р, являющееся коммутативным и ассоциативным кольцом с единицей, множество ненулевых элементов которого образует группу относительно умножения.

Первые кольца и поля рассматривались в 19 веке в связи с потребностями теории алгебраических уравнений и теории чисел. В 20-30-х годах 20 века теория колец и полей становится самостоятельной дисциплиной.

Пример 5. Множество целых чисел Z с обычными операциями сложения и умножения образует кольцо.

Действительно, операция сложения и умножения целых чисел удовлетворяют законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Поэтому Z является кольцом.

Пример 6. Множество целых чисел, кратных 3, является кольцом.

Это множество G было рассмотрено в примере 3, и доказано, что оно является абелевой группой относительно сложения. Также легко проверяется, что G замкнуто относительно умножения и удовлетворяет законам дистрибутивности.

Пример 7. Множество рациональных чисел образует поле.