§8. Уравнения прямой в пространстве

1. Каноническая форма. Положение прямой линии в пространстве однозначно определяется точкой, лежащей на этой прямой, и вектором, параллельным этой прямой. Пусть точка М₀(х₀, у_0, z₀) лежит на прямой L, вектор s = {m, n, p} параллелен L и М(х, у_, z) – текущая точка. Тогда М(х, у_, z) принадлежит L тогда и только тогда, когда вектор параллелен s. Здесь имеет координаты {х  х₀, у у_0, z  z₀}, и, с помощью условия параллельности векторов, это утверждение записывается следующим образом:

МL  ||s  (38)

Уравнения справа называются канонической формой уравнений прямой в пространстве. Векторs называется направляющим вектором.

2. Параметрические уравнения. Если в уравнениях (38) правые отношения обозначить буквой t, то возникают параметрические уравнения прямой:

x = mt + x₀,

y = nt + y₀,

z = pt + z₀.

3. Общая форма. Прямую линию можно задавать как линию пересечения двух плоскостей. Тогда общие уравнения этих плоскостей вида (35) объединяются в систему:

A ₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0,

A₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Это система называется общей формой уравнений прямой.

4. Угол между прямыми. Угол между двумя прямыми – это угол между направляющими векторами этих прямых. Пусть две прямые L_ и L_ заданы уравнениями

и

Тогда s₁ = { m₁; n₁; p₁} иs₂ = { m₂; n₂; p₂} - направляющие векторы этих прямых. Теперь, согласно свойству 8 скалярного произведения, угол  между L_ и L_ находится по формуле:

Условие перпендикулярности прямых:

Условие параллельности прямых:

В частности, уравнения координатных осей ОХ, ОY, OZ имеют вид:

y = 0, x = 0, x = 0,

z = 0; z = 0; y = 0.

5. Задачи на прямые линии. При решении задач на построение уравнений прямой линии можно руководствоваться следующими инструкциями.

Основное правило. Чтобы построить канонические уравнения прямой надо найти точку, лежащую на этой прямой, и векторs , параллельный этой прямой. Точка часто дается в условии задачи. А чтобы получить направляющий векторs достаточно, найти две точки, лежащие на прямой, или найти нормаль перпендикулярной плоскости, или найти нормали двух плоскостей, проходящих через прямую, и т. п. Затем координаты указанной точки и направляющего вектора подставляются в уравнения (38).

Например, при построении уравнений прямой, проходящей через две точки М₁ (х₁, у₁, z₁) и М₂ (х₂, у₂, z₂), в качестве направляющего вектора берется вектор получаются уравнения:

Пример 28. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (1; 2; 3) и перпендикулярно плоскости 2x – 2y + z  3 = 0.

Решение. Применяется основное правило. Точка дана в условии примера. А так как прямая перпендикулярна плоскости, то она параллельна нормали этой плоскости, и следовательно, в качестве направляющего вектораs искомой прямой можно взять нормаль плоскостиn = {2; 2; 1}. Теперь, по формуле (38), получаются искомые уравнения:

Пример 29. Cледующие уравнения прямой линии в общей форме

3 х + 2у  z + 2 = 0,

х + у + 2z 1 = 0,

записать в канонической форме.

Решение. Согласно основному правилу, требуется найти координаты точки, лежащей на данной прямой, и координаты направляющего вектора. В качестве координат указанной точки можно взять любое решение данной системы. Например, пусть z = 2, получится система:

3 х + 2у = 0,

х + у + 3= 0.

Из первого уравнения получается у = 1,5х, это подставляется во второе уравнения и получается решение: х = 6, у = 9. Тогда искомая точка имеет координаты (6; 9; 2). Линия пересечения двух плоскостей лежит в обеих плоскостях, поэтому она перпендикулярна нормалям этих плоскостей. Следовательно, ее направляющий вектор s перпендикулярен обеим нормалямn₁ = {3; 2; 1} иn₂ = {1; 1; 2|, и тогда в качестве s можно взять векторное произведение n₁ n₂. Получается следующий направляющий вектор:

Теперь, по формуле (38), искомые уравнения имеют вид: