4. Интегрирование рациональных функции. Следующие функции называются простейшими рациональными дробями:

Интегрирование таких функций осуществляется следующим образом.

1). 2).

3). Сначала выделяется полный квадрат в знаменателе:

= =

Теперь, делается замена: , отсюда Тогда

где

=

=

=

4). С помощью той же замены при n > 1 получается:

a). Первое слагаемое вычисляется с помощью замены , :

=

б). Второе слагаемое вычисляется методом интегрирования по частям. Пусть

. Тогда .

Пусть тогда

По формуле (51),

Получилось так называемое рекуррентное соотношение для интеграла I_n :

Это соотношение позволяет последовательно вычислить I_n для любого n.

Пример 7. Найти следующие интегралы.

1).

2).

=

3). Здесь

E= . Так как D < 0, то

+ 11

5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. Следующие интегралы демонстрируют основные приемы интегрирования тригонометрических функций.

1). Интегралы используют тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму (см. главу 4 §2).

а).

= 

б).

= 

в).

= +

2). Интегралы используют тригонометрические формулы понижения степени, (см. главу 4 §2).

а).

б).

в).

3). Интегралы вида используют замены sinmx = t, cosmx = t, соответственно.

а).

б).

§3. Определенный интеграл

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b]. Этот отрезок разбивается на n частей точками: а = х₀ < x₁ < x₂< … < x_n = b, и пусть x₁, x₂, …, x_n длины отрезков разбиения. Из каждого такого отрезка

(x_i; x_i) выбирается произвольная точка _i , вычисляется значение f(_i), и составляется сумма

S₁ = f(₁)x₁ + f(₂)x₂ + … + f(_n)x_n . (52)

Эта сумма называется интегральной суммой для f(x) на [a; b], более кратко она записывается в виде

S₁ = .

Затем, отрезки (x_i; x_i) разбиваются на более мелкие части, из них выбираются новые точки и составляется новая интегральная сумма S₂ вида (52). Этот процесс разбиения отрезка [a; b] на более мелкие части, и составление соответствующих интегральных сумм продолжается бесконечно. В результате возникает бесконечная последовательность интегральных сумм: S₁, S₂, S₃, … .

Определение 3. Определенным интегралом от функции f(x) в пределах от а до b называется предел указанных выше интегральных сумм, когда отрезок [a; b] бесконечно измельчается, если этот предел существует и не зависит от способов разбиения и выбора точек.

Обозначение:

Числа a, b называются пределами интегрирования.

Понятие интегральной суммы иллюстрируется на чертеже 40. Рассматривается непрерывная положительная функция y = f(x) на [a; b]. Ее график и ось Оx образуют криволинейную трапецию аАВb. Че­рез точки деления а, x_, x₂, …, x_n, b проведены отрезки, параллельные оси ОY , и образованы прямо­угольники с основаниями и высо­тами f(₁), f(₂), …, f(_n).

y f (_n) В

f (₂) y = f(x)

f(₁)

А …

x

0 a ₁ x₁ ₂ x_{2 . . .} x_n-1 _n b

Черт.40.

Тогда площади этих прямо­угольников равны f(₁)x₁, f(₂)x₂ , …, f(_n)x_n, соответственно, и их сумма f(_i)x_i является приближенным значением площади всей кри­волинейной трапеции аАВb. Если производить более мелкие разбиения [a; b], то соответствующие суммы f(_i)x_i будут приближаться к истинному значению площади аАВb. Поэтому площадью криволинейной трапеции аАВb назван предел указанных сумм f(_i)x_i, когда отрезок [a; b] бесконечно измельчается. С другой стороны, эти суммы являются интегральными суммами для функции f(x) на [a; b]. Тем самым, получен следующий геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл положительной функции y = f(x) по отрезку [a; b] равен площади криволинейной трапеции аAВb.