- •Глава 5. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Т еперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •Упражнения
Первый замечательный предел
Следующий предел называется первым замечательным пределом:
Доказательство. Сначала рассматривается случай . Тогда выполняется неравенство: . Действительно, на следующем чертеже изображены дуга окружности радиусом R, хорда АВ и отрезок АС касательной к окружности в точке А.
В С
R Rtgx
О x R А
Черт.31.
Из построения следует, что площадь треугольника АОВ меньше площади сектора АОВ, которая в свою очередь меньше площади треугольника АОС.
Пусть х обозначает меру угла АОВ в радианах, тогда:
1) площадь треугольника АОВ равна ;
2) площадь сектора АОВ равна ;
3) площадь треугольника АОС равна .
Поэтому имеет место соотношение: . После сокращения на , получается доказываемое неравенство: . Из этого неравенства следуют неравенства и .
Из последнего неравенства получается соотношение:
.
Отсюда следует, что при х +0, т. е. .
Если x < 0, то в силу нечетности sinx, выполняется равенство: = , где –х > 0. Тогда по доказанному . Таким образом,
при х +0 и х 0, поэтому рассматриваемый предел доказан.
Пример 10. Вычислить пределы.
1). . Делается замена: 6х = , тогда 3х = и 0 при х 0. Теперь данный предел равен: .
2). . Применяется тригонометрическая формула из §2:
, тогда исходный предел равен = 2.
3). Применяется замена: , отсюда, согласно указанным в §2 тождествам, . В силу непрерывности функции arcsin3x (см. §4), 0 при х 0. Тогда исходный предел равен .
Второй замечательный предел
Р ассматривается следующая последовательность чисел: Доказывается, что члены этой последовательности возрастают и содержатся в промежутке [2; 3). По cвойству пределов 8, эта последовательность имеет предел, этот предел обозначается буквой е и приближенно равен 2,72:
Как уже было сказано выше, число е служит основанием функции экспоненты: exp(x) = ex, и основанием натуральных логарифмов: ln(x) = loge(x).
Указанный предел используется для раскрытия неопределенностей вида {1}. Часто используются также следующие вспомогательные пределы:
П ример 11. Раскрытие неопределенности вида {1} .
.
Т еперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
Определение 9. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке хо, если она определена в некоторой окрестности хо и выполняется равенство:
Это определение содержит следующие условия непрерывности:
f(x) должна быть определена в некотором интервале, содержащем хо;
д олжны существовать конечные пределы (слева и справа):
пределы (43) должны быть одинаковыми;
пределы (43) должны равняться f(x0).
Определение 10. Точка x0 является точкой разрыва функции f(x), если в точке x0 не соблюдено хотя бы одно из условий непрерывности 1) 4).
Различают следующие виды точек разрыва:
Точка x0 является точкой разрыва I-го рода функции f(x), если существуют конечные пределы (43), но эти пределы различные или отличаются от f(x0). Точка x0 является точкой разрыва II-го рода функции f(x), если хотя бы один из пределов (43) равен .
Пример 12. Анализ точек разрыва функций.
т очка х = 3 является точкой разрыва I-го рода, ибо существуют конечные
п ределы:
Свойства непрерывных функций
1). Степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции непрерывны при всяком x0 , при котором они определены.
2). Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то их сумма, разность, произведение и отношение непрерывны в точке x0.
3). Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, и g(x0) 0, то отношение непрерывно в точке x0.
4). Пусть функция у = g(x) непрерывна в точке x0 и функция f(y) непрерывна в точке y0 = g(x0), тогда суперпозиция (fg)(x) = f(g(x)) непрерывна в точке x0.
Непосредственным следствием этих свойств является следующее утверждение.
Теорема 1. Каждая элементарная функция непрерывна во всех точках, в которых она определена.
Определение 11. Функция f(x) называется непрерывной на сегменте
[ a; b], если она непрерывна в каждой точке внутри сегмента, а на его концах выполняются соотношения:
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a; b], то:
f(x) ограничена на [a; b];
f(x) достигает на [a; b] свои наибольшее и наименьшее значения;
3) f(x) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
Y
maxf(x) f(b)
f(a)
minf(x)
0 a b X
Черт.32.
Из свойств 1) 3) следует, что любая элементарная функция непрерывна в своей области определения. А теорема 2 показывают, что математическое определение непрерывной функции полностью соответствует реальному понятию непрерывного процесса.