- •Глава 5. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Т еперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •Упражнения
§2. Простейшие функции
1. Степенной функцией называется функция вида у = х, которая каждому значению аргумента х ставит в соответствие х в степени .
Пример 5. Графики следующих степенных функций представлены на черт. 23:
а) у = х, б) у = х, в) у = х3, г) у = = , д) у = = x, е) y = = x.
y y y
x x x
0 0 0
a) б) в)
y y у
x x х
0 0 0
г) д) е)
Черт.23.
2. Действия со степенями. Для натурального числа n степенью аn называется n-кратное умножение а на себя:
Для n = 0 полагают: а0 = 1. Для дробного показателя принято следующее соглашение: , т.е. корень n–й степени из am. Для отрицательного показателя (целого или дробного) полагают:
Пример 6. 1). 25 = 32, 210 = 1024, 34 = 81, 43 = 64, 152 = 225, 252 = 625.
2). 50 = 1, х0 = 1,
Основные свойства степеней
1). При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
2). При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
3). При возведении степени в степень показатели умножаются:
4). При извлечении корня из степени ее показатель делится на показатель корня:
3. Выше были определены степени для любого рационального числа х. Кроме того, имеются специальные соглашения для определения степени в случае иррационального показателя х (о них будет сказано в разделе «предел функции»). Тем самым, положительное число а можно возводить в степень с любым вещественным показателем. Это позволяет определить следующую функцию.
Показательной функцией называется функция вида у = ах, которая каждому значению х ставит в соответствие а в степени х. Число а называется основанием, оно положительное и не равно единице: а > 0, а 1.
y
x
y1
y2 3
0,12
8 2
0,25
4
1
0,5 2 0 1
1 1 2
0,5 2 4
0,25 3 8
0,12
3
2
1
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
Черт.24.
Показательная функция всюду определенная: Df = (; +; она всегда положительная (ах > 0), и неограниченная (max ах = +). При а > 1 функция
ах возрастает от 0 до + (в этом случае пишут: а = 0 и а+ = +. При а < 1 функция ах убывает от + до 0 (т.е. а = + и а+ = 0).
Особое значение имеет показательная функция ex со специальным основанием е 2,72, эта функция называется экспонентой и обозначается у = exp(x) .
4. Логарифмы. Пусть а > 0, a 1 и N – некоторое положительное число.
Логарифмом числа N по основанию а называется показатель n степени, в которую нужно возвести а чтобы получить число N, обозначение:
Пример 7. 1). так как 2). так как