§5. Ранг матрицы

Пусть в числовой матрице А = (a_ij) –вида mn, выбраны какие-нибудь k строк (с номерами i₁,…, i_k), и k столбцов (с номерами j₁,…, j_k ). Минором порядка k матрицы А называется определитель k-го порядка, образованный элементами, расположенными на пересечении выбранных строк и столбцов, обозначение:

.

Минор порядка k матрицы А называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка k+1 равны нулю или не существуют. Очевидно, что базисные миноры имеют один и тот же порядок.

Определение 5. Рангом матрицы А называется порядок ее базисного минора, обозначение: rang(A).

Из предыдущих определений следует, что rang(A) есть наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы А. Для нулевой матрицы ее ранг равен нулю. Матрицы А и В, имеющие одинаковый ранг, называются эквивалентными, обозначение: А  В.

Вычисление ранга матрицы осуществляется с помощью эквивалентных преобразований, описанных в методе Гаусса, и основаны на следующем утверждении.

Теорема 2. Транспонирование и эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы.

Доказательство осуществляется методом математической индукции по рангу, но в этом курсе оно не рассматривается [1. с. 166].

На этой теореме основано следующее правило вычисления rang(A).

Исходная матрица с помощью эквивалентных преобразований приводится к описанному выше виду трапеции (9). При этом отбрасываются все нулевые строки. Тогда количество оставшихся строк полученной матрицы равно рангу исходной матрицы.

Пример 23. Найти ранг следующей матрицы:

А =

Решение. 1-й шаг. 1-я строка умножается на 2 и прибавляется ко 2-й и

4-й строкам, затем 1-я строка умножается на 3 и прибавляется к 3-й строке. В результате получается следующая эквивалентная матрица:

А₁ = .

2-й шаг. 2-я строка прибавляется к 3-й строке, затем 2-я строка умножается на 2 и прибавляется к 4-й строке:

А₂ = .

3-й шаг. 3-я строка отбрасывается, и переставляются местами 3-й и 5-й столбцы:

А₃ =

4-й шаг. Матрица А₃ имеет вид трапеции. В ней минор, расположенный в первых трех строках и столбцах отличен от нуля, его порядок равен 3, следовательно, rang(A₃) = 3, но, согласно теореме 1, rang(A) = rang(A₃) = 3.

Ответ: rang(A) = 3.

Определение 6. Пусть C₁, C₂, …, C_k - строки некоторой матрицы А. Линейной комбинацией этих строк называется выражение m₁C₁ + m₂C₂ + …+ m_kC_k, где m₁, m₂, …, m_k - числовые коэффициенты. Аналогично определяется линейная комбинация столбцов. Строки (или столбцы) называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, которая равна нулевой строке (столбцу) и в которой имеются коэффициенты, отличные от нуля. В противном случае строки или столбцы называются линейно независимыми.

Введенные в данном параграфе понятия являются основными в рассматриваемом разделе линейной алгебры, и их определения надо знать наизусть. В более подробном изложении этого курса для них доказываются следующие утверждения [1, с.170-173].

Теорема о базисном миноре. В произвольной матрице каждая строка (или столбец) равна линейной комбинации строк (или столбцов), в которых расположен базисный минор матрицы.

Важным следствием этой теоремы является следующее утверждение.

Теорема об определителе. Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (или столбцы) являются линейно зависимыми.

Пример 22. Следующий определитель равен нулю:

И пусть С₁ = (1 2 3), С₂ = (4 5 6), С₃ = (7 8 9) строчки этого определителя, тогда их линейная комбинация С₁ 2С₂ + С₃ = (1 2 3) 2(4 5 6) + (7 8 9) = (0 0 0), т. е. строки определителя линейно зависимые.

Следующее утверждение дает вторую форму определения ранга матрицы.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (или столбцов) в этой матрице.

Центральным утверждением в линейной алгебре является следующая теорема, в ней дается простое и эффективное условие совместности общей системы линейных уравнений (3).

Теорема Кронекера-Капелли. Система (3) имеет хотя бы одно решение в том и только в том случае, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы А*, определяемой выше формулой (8).

Доказательство. Пусть и В обозначают 1-й, 2-й, … , n-й столбцы матрицы А и столбец свободных членов системы (3). Тогда эту систему можно записать в виде: .

1. я часть (необходимость). Пусть система (3) совместна, тогда сущест-

вуют числовые значения неизвестных , при которых выполняется предыдущее равенство. Это означает, что n+1-й столбец В в расширенной матрице А* является линейной комбинацией первых столбцов. Следовательно, прибавление столбца В к сталбцам матицы А не увеличивает число линейно независимых столбцов в матрице А*. Тогда по предыдущей теореме rang(A) = rang(A*).

2-я часть (достаточность). Пусть rang(A) = rang(A*). Тогда базисный минор матрицы А является базисным минором матрицы А*. Следовательно, столбец В равен линейной комбинации столбцов, в которых расположен базисный минор, и потому В есть линейная комбинация первых n столбцов матрицы А. Набор коэффициентов этой линейной комбинации являются решением данной системы, т.е. система совместна. Теорема доказана.

Теперь будет рассмотрено более подробно множество решений неопределенной системы линейных уравнений. Пусть система (3) приведена к равносильному виду трапеции (7), в ней нет противоречий и отброшены нулевые равенства. Более того, можно считать, что ее неизвестные занумерованы так, что система имеет вид

а₁₁^*х₁ + а₁₂^*х₂ + ... + а_1k^*х_k+ ... + а_1n^*х_n = b₁^*,

а₂₂^*х₂ + ... + а_2k^*х_k+ ... + а_2n^*х_n = b₂^*,

 ............................................... (10)

а_kk^*х_k + … + а_nn^*х_n = b_k^*,

где коэффициенты а₁₁^*, а₂₂^* , …, а_kk^* отличны от нуля и k – ранг матрицы коэффициентов исходной системы.

Эту систему можно преобразовать к равносильному виду:

х₁ = b₁^**  (а_1k+1^**х_k+1 + ... + а_1n^**х_n ),

х₂ = b₂^**  (а_2k+1^**х_k+1 + … + а_2n^**х_n ),

 …………………………………. (11) х_k = b_k^**  (а_kk+1^**х_k+1 + … + а_kn^**х_n),

где b_i^**, a_ij^**- уже другие числа, полученные в результате указанных выше преобразований.

Неизвестные справа х_k+1, х_k+2, …, х_n называются свободными, они могут принимать любые значения; неизвестные слева х₁, х₂, …, х_k называются зависимыми. Для каждого набора значений свободных неизвестных зависимые неизвестные получают определенные значения по формулам (11), и весь образовавшийся набор значений х₁, х₂, …, х_k, х_k+1, …, х_n является решением исходной системы. Такое описание множества решений системы (3) называется параметрическим, здесь свободные неизвестные являются параметрами.

Но существует другой более красивый метод описания таких решений, с помощью так называемых базисных решений.

Системе уравнений (3) соответствует система (12) с той же матрицей коэффициентов, но все свободные члены которой равны нулю:

а ₁₁х₁ + а₁₂х₂ + ... + а_1nх_n = 0,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + ... + а_2nх_n = 0,

.............................................. (12)

а_m1х₁ + а_m2х₂ + ... + а_mnх_n = 0.

Такая система называется однородной, она всегда совместна, так как нулевой набор значений неизвестных является ее решением. Для нее верны все предыдущие рассуждения, поэтому (12) равносильна системе (11) с b₁^** = 0, b₂^** = 0,…, b_n^** = 0. Оказывается, что множество всех решений системы (3) образует так называемое линейное пространство, которое подробно рассматривается в главе 3. В этом пространстве следующим образом строятся базисные решения.

Свободным неизвестным придаются n – k следующих наборов значений:

1) х_k+1 = 1, х_k+2 = 0, …, х_n = 0;

2) х_k+1 = 0, х_k+2 = 1, …, х_n = 0;

…………………………….

n – k) х_k+1 = 0, х_k+2 = 0, …, х_n = 1.

Для каждого такого набора вычисляются значения зависимых неизвестных по формулам (11) (с b₁^** = 0, b₂^** = 0,…, b_n^** = 0). В результате получится n – k решений системы (12), которые записываются в виде столбцов, обозначенных через С₁, С₂, …, С_n-k :

(13)

Главные свойства решений (13) в том, что они являются линейно независимыми и любая линейная комбинация этих решений является решением системы (12). Также верно обратное утверждение о том, что любое решение системы (12) представимо в виде линейной комбинации этих решений. Поэтому такие решения называются базисными решениями однородной системы (12), а их совокупность называется фундаментальной системой решений.

Далее, эти базисные решения используются для описания множества решений общей системы (3) согласно следующему утверждению.

Теорема (общее решение). Если столбец чисел D₀ вида 1n есть некоторое решение системы (3) и C₁, C₂, … , C_nk  фундаментальная система решений соответствующей однородной системы (12), то для любых чисел m₁, m₂, …, m_nk линейная комбинация

(14)

является решением системы (3). И наоборот, каждое решение системы (3) представимо в виде (14).

Доказательство (см. [1. с. 180]).

Выражение, стоящее в правой части равенства (14) называется общим решением системы линейных уравнений (3).

Пример 23. Найти общее решение следующей системы уравнений в параметрическом виде и через базисные решения однородной системы:

х₁ – 2х₂ + 3х₃ – 4х₄ = 4,

х₂ – х₃ + х₄ = –3,

х₁ + 3х₂ – 3х₄ = 1,

–7х₂ + 3х₃ + х₄ = –3.

Решение. Сначала система приводится к виду трапеции.

1-й шаг. Из 3-го уравнения вычитается 1-е уравнение, остальные уравнения сохраняются:

х₁ – 2х₂ + 3х₃ – 4х₄ = 4,

х₂ – х₃ + х₄ = –3,

5х₂ – 3х₃ + х₄ = –3,

–7х₂ + 3х₃ + х₄ = –3.

2-й шаг. 2-е уравнение умножается на 5 и прибавляется к 3-му уравнению, затем 2-е уравнение умножается на 7 и прибавляется к 4-му уравнению:

х ₁ – 2х₂ + 3х₃ – 4х₄ = 4,

х₂ – х₃ + х₄ = –3,

2х₃ – 4х₄ = 12,

–4х₃ + 8х₄ = –24.

3-й шаг. 3-е уравнение умножается на 2 и прибавляется к 4-му уравнению:

х₁ – 2х₂ + 3х₃ – 4х₄ = 4,

х₂ – х₃ + х₄ = –3,

2х₃ – 4х₄ = 12,

0 = 0.

4-й шаг. Нулевое равенство отбрасывается, получается система, в которой три уравнения и четыре неизвестных. Такая система имеет бесконечное множество решений. Тогда х₄ объявляется свободной неизвестной, х₁, х₂, х₃ – зависимыми неизвестные. Последние выражаются через х₄, для этого все слагаемы, содержащие х₄ , переносятся вправо с противоположными знаками. Потом из полученного 3-го уравнения 2х₃ = 12 + 4х₄ находится выражение для х₃: х₃ = (12 + 4х₄):2 = 6 + 2х₄. Это выражение подставляется во 2-е уравнение:

х₂ = –3 + х₃ – х₄ и находится выражение для х₂: х₂ = –3 + (6 + 2х₄) – х₄ = 3 + х₄. Полученные выражения подставляются в 1-е уравнение х₁ = 4 + 2х₂ – 3х₃ + 4х₄ и находится выражение для х₁: х₁ = 4 + 2(3 + х₄) – 3(6 + 2х₄) + 4х₄ = – 8. Получается система:

х₁ = – 8,

х₂ = 3 + х₄,

х₃ = 6 + 2х₄.

Это параметрическая запись общего решения исходной системы, в ней х₄ принимает произвольные числовые значения. И для каждого такого набора значений значения зависимых неизвестных х₁, х₂, х₃ вычисляются по предыдущим формулам, в результате будут получаться все возможные решения системы.

Например, пусть х₄ = 0, тогда х₁ = – 8, х₂ = 3 + 0 =3, х₃ = 6 + 20 = 6, т.е. набор D₀ = (–8, 3, 6, 0) есть частное решение исходной системы. Пусть х₄ = 1, тогда х₁ = – 8, х₂ = 3 + 1 =4, х₃ = 6 + 21 = 8, т.е. набор D₁ = (–8, 4, 8, 1) – тоже частное решение исходной системы.

5-й шаг. Строится фундаментальная система решений однородной системы:

х₁ – 2х₂ + 3х₃ – 4х₄ = 0,

х₂ – х₃ + х₄ = 0,

х₁ + 3х₂ – 3х₄ = 0,

–7х₂ + 3х₃ + х₄ = 0.

Для этого повторяются преобразования, описанные на 14-х шагах, в результате х₄ окажется свободной неизвестной, и формулы для зависимых неизвестных примут вид:

х₁ = 0,

х₂ = х₄,

х₃ = 2х₄.

Так как свободная неизвестная одна, то и фундаментальная система решений однородной системы состоит из одного решения, которое получается по предыдущим формулам при х₄ = 1: С₁ = (0, 1, 2, 1) – базисное решение.

Теперь, формула (14) принимает вид: D = D₀ + m₁С₁. В качестве D₀ можно взять решение (–8, 3, 6, 0), полученное на 4-м шаге; m₁ принимает любые числовые значения. Тогда общее решение исходной неоднородной системы имеет вид:

(х₁, х₂, х₃, х₄) = (–8, 3, 6, 0) + m₁ (0, 1, 2, 1).

Например, решение D₁, найденное на 4-м шаге, получается при m₁ = 1:

D₁ = (–8, 3, 6, 0) + 1 (0, 1, 2, 1) = (–8, 4, 8, 1).