§2. Определители матриц

Каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, называемое определителем и обозначаемое |A| или det(A). Сначала вводятся определители первого, второго и третьего порядков.

Определитель 1-го порядка матрицы равен единственному элементу этой матрицы:

О пределитель 2-го порядка матрицы определяется следующим образом:

П ример 9. Вычислить определители 2-го порядка:

О пределитель 3-го порядка матрицы вида 33 вычисляется по формуле:

Здесь каждое слагаемое является произведением трех элементов матрицы, составленное так, что в него входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Рассматриваются всевозможные такие комбинации элементов, а знаки слагаемых зависят от четности или нечетности перестановок, образуемых индексами входящих в них множителей. Понятие перестановки в данном курсе не рассматривается, поэтому эту формулу нужно просто запомнить. Следующая схема вычисления определителя 3-го порядка облегчает запоминание этой формулы. К данному определителю снизу приписываются две первые строки:

+ а₁₁ а₁₂ а₁₃ 

+ а₂₁ а₂₂ а₂₃ 

+ а₃₁ а₃₂ а₃₃ 

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃

Теперь, слагаются произведения трех чисел, стоящих на главных диагоналях (слева-направо-вниз), и вычитаются произведения трех чисел, стоящих на побочных диагоналях (справа-налево-вниз):

а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₂₁ а₃₂ а₁₃ + а₃₁ а₁₂ а₂₃  а₁₃ а₂₂ а₃₁  а₂₃ а₃₂ а₁₁  а₃₃ а₁₂ а₂₁.

Такая схема вычисления верна только для определителей 3-го порядка.

П ример 10. Вычислить следующие определители:

Выше было замечено, что определитель 3-го порядка равен алгебраической сумме всевозможных произведений трех элементов матрицы, составленных так, что в каждую тройку входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. При этом эти произведения снабжаются дополнительными знаками + или  по определенным правилам, которые в данном курсе не рассматриваются. Таким же способом определяются определители n-го порядка для n = 4, 5, … . [8. с. 445]. Это определение так же не рассматривается, а вместо него описывается основное правило вычисления определителей с помощью теоремы Лапласа. Для формулировки этой теорема вводятся следующие понятия.

Определение 2. Минором элемента a_ij квадратной матрицы А называется определитель матрицы, получаемой из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, обозначение: . Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется произведение его минора на (1)^i+j, обозначение: А_ij.

Пример 11. Вычислить алгебраические дополнения элементов второй строки следующей матрицы А:

Решение:

Ответ: А₂₁ = 6, А₂₂ = 12, А₂₃ = 6.

Следующая теорема дает метод вычисления определителей 4-го и более высокого порядков.

Теорема Лапласа. 1). Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы:

a_i1 A_i1+a_i2 A_i2+ ... +a_inA_in =A; a_1j A_1j+a_2j A_2j+ ... +a_nj A_nj =A.

2). Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (или другого столбца) равна нулю:

a_i1 A_j1 + a_i2 A_j2 + ... +a_inA_jn = 0; a_1i A_1j + a_2i A_2j + ... + a_ij A_nj = 0.

Доказательство (см. [8. с. 449]).

Первая формула называется разложением определителя по i-й строке, вторая формула  разложение определителя по j-му столбцу. Формулы второй части носят вспомогательный характер.

П ример 12. Вычислить определители:

Решение. 1). Используется разложение определителя по второй строке и вычисления в примере 11.

2 ). В 1-м столбце много нулей, поэтому применяется формулу разложения определителя по 1-му столбцу: