Математические и логические задачи

в датском языке скорее seks (англ. six, нем. sechs), чем fem. Если fem —5, seks —6, тогда tyve —20.

Очевидно, десятки обозначаются путём умножения двадцати, а элемент sins служит своего рода знаком умножения. Рассматривая (4) и (5), а также учитывая схожесть элемента tre с рус. три, англ. three, франц. trois, нем. drei и т. д., можно предположить, что tresinstyve — 60 (‘трижды двадцать’), firsinstyve —80 (‘четырежды двадцать’). Тогда легко находим неизвестные: niden — 19, femden — 15, следовательно, элемент -den соответствует русскому -надцать; ni — 9.

Рассмотрим теперь (3). Его арифметический смысл теперь нам ясен: 84 + 6 = 90. Число 90 обозначено так: ‘пятью двадцать’ и ещё элемент halвначале; значит, halтребует вычитания десяти (то есть половины двадцатки). Таков способ обозначения чисел с нечётным числом десятков.

Теперь мы можем заполнить пропуски в последних трёх равенствах: treden + seksden = niotyve (13 + 16 = 29);

seks × ni = fireohaltresinstyve (6 × 9 = 54);

niotresinstyve + fireotyve = treohalfemsinstyve (69 + 24 = 93).

Эта задача даёт пример так называемой двадцатиричной системы записи чисел.

Математические и логические задачи

Решение задачи 259.

Последние два знака первых двух чисел повторяют друг друга в обратном порядке. Если предположить, что один из знаков — 9, то второй не может значить ни 6, ни 0; единственная возможная гипотеза

втом, что он обозначает разряд десятков, а предшествующий иероглиф в первом числе значит 6. Тем самым можно предполагать, что имеются специальные знаки для разрядов (начиная с десятков), если они ненулевые; нулевые же разряды никак не обозначаются. Китайская запись числа похожа в этом отношении на словесное обозначение числа

врусском языке; например, число 379 = триста семьдесят девять, т. е. упоминаются: три, сто, семь, десять, девять, включая названия разрядов, начиная с десятков; младший разряд не упоминается: девять, а не девять единиц.

Аналогия (хотя и не совсем полная) со словесным обозначением числа наблюдается и в том, что запись строится двухступенчато. В русском языке слово тысяча указывает на разряд 103, миллиард — на разряд 109 и т. д. Промежуточные разряды не имеют отдельного обозначения; например, 104 передаётся как десять тысяч, 108 — как сто

Для различения цифр 3 и 5 потребуется одна из двух проверок: на наличие верхнего левого или верхнего наклонного отрезка. Ни одна из этих проверок не различает 3 оставшиеся цифры. Для их различения потребуется ещё 2 проверки. Таким образом, всего понадобится 6 проверок.

Решение задачи 262.

Ключевым является слог га в середине последовательности. Поскольку он не может быть отдельным словом, он должен входить в какое-то слово. Словарь позволяет этому слогу либо заканчивать слово канэга, либо начинать одно из слов ган, ганар, ганару, ганаруна. В первом случае имеем 20 вариантов деления:

Во втором случае варианты деления первой части — до слога га — также образуют два подкласса: в одних вариантах слог ба заканчивает собой слово, а в других вариантах начинает. Вариантов деления первой части в первом подклассе — 10:

Вариантов деления первой части во втором подклассе — 18:

Вариантов деления второй части предложения (начинающейся со слога га) —всего 7:

Таким образом, во втором случае имеем: (10 + 18) · 7 = 196, а всего — 20 + 196 = 216 вариантов деления.

• Примечание. Приводим для справки правильное деление фразы на

слова и перевод на русский язык.

каки куэба канэ га нару нари хурма есть когда колокол звенящий есть (Когда ешь хурму, звенит колокол.)

Решение задачи 263.

Проверим на совместимость порядок следования первой (m, j, a, d, b) и третьей (a, b, d, m, n) букв. Совпадает их порядок только в четвёртом

(первая буква: a, b, d, m, j) и первом (третья буква: a, , d, m, n)

столбцах. С этим порядком совместимо следование четвёртых букв только в третьем столбце: b, d, n, o, . Поскольку b и n следуют за a, с уже установленным порядком совместимы последователь- aности a, e, n, o, u вторых букв во втором столбце и пятых букв , b, e, i, o в пятом столбце.

Решение задачи 264.

1. В каждом слоге на 1-м месте может быть один из восьми согласных или отсутствие согласного, на 2-м месте —любой из десяти гласных (считая долгий и краткий гласный за разные звуки), т. е. общее число возможных слогов 9 · 10 = 90. При соположении двух слогов второй не

может содержать долгий или краткий гласный, равный по качеству гласному первого слога. Таким образом, общее число двусложных слов

90(90 − 2) = 90 · 88 = 7920.

2. На письме может изображаться 8 · 5 = 40 различных слогов. Число двусложных графических слов 402 = 1600.

3. Наибольшее число вариантов прочтения допускают слова, представляющие собой последовательность из четырёх гласных букв, если рядом не стоят две одинаковые. Такие слова могут быть прочитаны 44 = 256 способами.

Решение задачи 265.

Рассмотрим один из возможных путей решения задачи.

Учитывая данные условия, генеалогическое древо Петровых (без конкретного наполнения), отражающее все указанные родственные связи, можно построить единственным способом:

—по сути равнозначны первому).

Среди представителей рода мы находим три пары с одинаковым вторым инициалом. Очевидно, это братья: Г. К. и Н. К.; А. Н. и М. Н.; К. Т. и Н. Т..

Остальные пять человек имеют отчество на М. Среди них — две пары братьев и один основатель рода. Кто же из них основатель рода? Проверим все возможности.

Б. М. не годится, так как у него нет сыновей (нет имён со вторым инициалом Б.).

Если основатель рода К. М., то его сыновья Г. К. и Н. К. Но тогда и у них по условию задачи должно быть по два сына, а для Г. К. мы не находим кандидатов, подходящих на роль его сыновей. Значит, К. М. не основатель рода.

По аналогичным причинам не подходит и Н. М.: его сыновьями могут быть только А. Н. и М. Н., но у А. Н. сыновей нет, что противоречит условию задачи. Значит, и Н. М. не годится на роль основателя рода.

Проверим теперь на эту роль Т. М. Если он основатель, то верхняя часть древа выглядит так:

Не распределёнными остались Б. М., К. М., Н. М. и М. М. Но все они, имея отчество на М., могут быть только сыновьями М. Н., что не соответствует построенной нами по условию схеме.

Остался единственный возможный кандидат в основатели рода — это М. М. Одним из его сыновей обязательно должен быть Н. М., так как только у него может быть сын М. Н. (а М. Н. должен быть именно внуком, а не правнуком основателя, так как иначе некуда будет поместить ещё двух представителей с отчеством на М.) Итак:

Вторым сыном не может быть Б. М (у него нет сыновей). Проверим две оставшиеся возможности: К. М. и Т. М. Если второй сын основателя рода К. М., то его сыновья Г. К. и Н. К. У Г. К. нет сыновей, а сыновьями Н. К. могли бы быть М. Н. и А. Н., но они уже «заняты» в роли сыновей Н. М. Следовательно, К. М. не подходит на роль сына основателя. Остаётся только Т. М.

Тогда наша исходная схема генеалогического древа однозначно заполняется следующим образом:

Решение задачи 266.

Рассмотрим, какой может быть структура арабского слова, составленного по указанным правилам.15 Начало определено правилом (а): CV. Третий звук по правилу (б) согласный: CVC. Четвёртый может быть как гласным (тогда пятый по правилу (б) согласный: CVCVC), так и согласным (тогда пятый по правилу (в) гласный: CVCCV).

Итак, в соответствии с первыми тремя правилами слово может иметь структуру CVCVC или CVCCV. Правило (г) накладывает ограничения

˘

на второй случай: это может быть CVCCV без ограничения на выбор

¯

звуков или C1VC2C3V, где C2=C3.

А теперь произведём подсчёт.

Слов структуры CVCVC может быть 28·6·28·6·28 = 283 ·62 = 790272,

˘

слов структуры CVCCV —283 · 3 · 6 = 395136,

¯

слов структуры CVCCV —282 · 3 · 6 = 14112.

Всего можно составить 790272 + 395136 + 14112 = 1199520 различных

пятибуквенных арабских слов по указанным правилам.

Решение задачи 267.

Если применить каждое из пяти правил по одному разу, то получится последовательность cdb. Но вместо того, чтобы использовать правило 5, мы всегда можем снова использовать правило 1, и тогда вместо d появится опять cdb. Это означает, что мы можем получать только следующие циклические последовательности: cdb, ccdbb, cccdbbb и т. д.; в более общем виде, каждая такая последовательность описывается следующим образом: c может повторяться сколько угодно раз, потом идёт одно d и столько же раз b, сколько было c.

Теперь, если мы предложим следующие правила 6–8:

6.b → глагол в третьем лице единственного числа настоящего вре-

мени;

7.c → прилагательное мужского рода в именительном падеже един-

ственного числа;

8.d → существительное мужского рода в именительном падеже

единственного числа

—то получатся следующие предложения:

15В лингвистике принято обозначать согласные прописной латинской буквой С (от латинского слова c¯onson¯ans ‘согласный звук’), а гласные — прописной латинской буквой V (от латинского слова v¯oc¯alis ‘гласный звук’). Краткость и долготу гласных принято обозначать надстрочными знаками ˘ и ¯ соответственно.

(каждая замена применяется к левой части цепочки одинаковых цифр).» Последнее уточнение необходимо, чтобы происходили переходы типа IIIIII → VI, а не типа IIIIII → IV.

(4) «Проведи замены, обратные к заменам в (1), в указанной для них там очерёдности.» Соблюдение очерёдности необходимо, чтобы происходили переходы типа VIIII → IX, а не типа VIIII → VIV.

Описанный здесь алгоритм сложения римских чисел —один из многих возможных.

Решение задачи 271.

Чтобы получить числа 11 и 22, на каждом кубике нужно заготовить цифры 1 и 2. Если цифру 0 написать только на одном из кубиков,

то будут получены только шесть однозначных чисел (по числу граней другого кубика); поэтому эту цифру тоже нужно написать на обоих кубиках.

Итак, на каждом кубике три грани заняты цифрами 1, 2 и 0, а три

другие свободны. На шести гранях нельзя разместить оставшиеся семь цифр; однако цифра 9 выглядит как перевёрнутое 6, поэтому можно

обойтись шестью цифрами. Расположить цифры на кубиках можно С36 = 20 способами.

Решение задачи 272.

Пусть Ak —число слов, в которые X входит k раз, а Am;n —число слов длины m + n, которые получены соединением двух слов, левое из которых имеет длину m, а правое —длину n. Поскольку Am;n = An;m, то

A8 = 2A7;1 + 2A6;2 + 2A5;3 + A4;4 = 2A7 ·A1 + 2A6 ·A2 + 2A5 ·A3 + A4 ·A4.

Подсчитываем Ak от A1 до A7.

A1 = 1,

A2 = 1,

A3 = 2A2;1 = 2A2 = 2,

A4 = 2A3;1 + A2;2 = 2A3 + A2 · A2 = 5.

Аналогично: A5 = 14, A6 = 42, A7 = 132, откуда A8 = 429.