attachment

вибору центру моментів. Якщо покласти Р =0, то для такої сили і головний вектор, і головний момент рівні нулю. Пара сил має головний вектор, рівний нулю, але момент пари сил відмінний від нуля і не залежить від вибору центру моментів. Тобто, пару сил не можна замінити еквівалентною силою.

Пара сил повністю визначається своїм моментом, який є вільним вектором. Звідси випливають різноманітні властивості пари сил. Зупинимось на найважливіших з них.

1.Не змінюючи дії пари сил на тіло, пару сил можна замінити іншою парою, яка має той самий момент. Інакше кажучи, в парі сил можна змінювати величину сил, що утворюють пару, і плече, залишаючи незмінним її момент.

2.Не змінюючи дії пари сил на тіло її можна повертати в площині її дії та переносити в площині її дії в будь-яке положення.

3.Не змінюючи дії пари сил на тіло, її можна переносити з площини дії в паралельну площину.

Правило додавання пар сил.

Пара сил повністю визначається своїм моментом, тому будь-яку систему пар сил, розташованих довільно у просторі, можна замінити рівнодійною парою сил. Вектормомент рівнодійної пари рівний векторній сумі моментів пар-доданків.

Умови рівноваги пар сил, діючих на абсолютно тверде тіло.

Система пар сил, діючих на абсолютно тверде тіло, зрівноважується, якщо момент рівнодійної пари дорівнює нулю:

п

М і 0 . (2.48)

і1

З(2.48) видно, що система пар сил, діючих на абсолютно тверде тіло, зрівноважується, якщо многокутник моментів пар сил замкнений.

2.2.6.Рівновага системи сил, розміщених в площині

Зупинимося на розгляді задачі про рівновагу системи сил, розміщених в площині. Якщо сили розміщені, наприклад, в площині Oxy, для них zi=Z=0. Тому три рівняння рівноваги системи (2.41), (2.42) обертаються на тотожності:

Залишаться три аналітичні рівняння рівноваги

З (2.49) випливає, що система сил, розміщених в площині, зрівноважується, якщо суми проекцій сил на дві координатні осі рівні нулю і сума моментів сил відносно осі Oz рівна нулю.

В цьому випадку сили розміщені в площині, перпендикулярній осі Oz. Відповідно до правила обчислення моменту сили відносно осі сума моментів сил відносно осі Oz рівна сумі моментів сил відносно початку координат, обраного в довільній точці на осі

Oz. Тому аналітичні умови рівноваги системи сил, розміщених в площині, можна сформулювати так: система сил, розміщених в площині буде знаходитись у рівновазі,

72

якщо алгебраїчні суми проекцій всіх сил на дві координатні вісі мають дорівнювати нулю та алгебраїчна сума моментів всіх сил відносно довільної точки на площині має дорівнювати нулю.

YA, напрямлені за додатними напрямками осей координат. Невідомі сили завжди

вважаються направленими так, щоб їх проекції на вісі координат були додатними. З

розв'язку рівнянь рівноваги буде відомий дійсний знак ХА та YA. Реакцію RВ направимо

перпендикулярно балці, каток В не перешкоджає горизонтальному переміщенню балки. Складемо три рівняння рівноваги для плоскої системи сил

i 1

При складанні третього рівняння рівноваги центр моментів був обраний так, щоб в ньому перетиналися лінії дії невідомих сил і щоб моменти цих сил оберталися в нуль.

Розв’язуючи рівняння рівноваги, отримаємо: XA= -15 кН, YA 17,7 кН, RB= 28

кН.

73

Розділ 3. Основи аналітичної механіки

За означенням Ж.Лагранжа, цей розділ механіки є сукупністю найбільш загальних аналітичних методів розв'язання задач механіки вільних і невільних матеріальних систем, що не ґрунтуються на наочних геометричних уявленнях, які використовував ще І.Ньютон.

У сучасній аналітичній механіці аналітичні методи і геометричні образи настільки взаємозв'язані, що не може бути і мови про їх відокремлення.

Основою аналітичної механіки є три групи фундаментальних положень.

До першої групи слід віднести варіаційні принципи, які в простій інваріантній формі містять формулювання найбільш загальних закономірностей механіки.

Друга група фундаментальних положень об'єднує диференціальні рівняння руху механічних систем, які є наслідком варіаційних принципів.

Третя група об'єднує загальні методи інтегрування рівнянь динаміки.

Основоположними поняттями аналітичної механіки є: o уявлення про в'язі та їх класифікація;

o поняття про дійсні й можливі переміщення.

3.1. Дійсні та можливі переміщення. В'язі. Ступені вільності

Перед тим, як почати виклад фундаментальних положень, необхідно дати визначення поняттям, що входять до них.

Поняття про можливі переміщення належить до найважливіших понять механіки. Будемо розрізняти два види переміщень, що матимуть основне значення у подальшому, - можливі та дійсні переміщення.

Дійсні переміщення – це елементарні переміщення точок матеріальної системи, що відбуваються за певний проміжок часу під дією активних (заданих) сил.

Можливі переміщення – це нескінченно малі уявні переміщення, що відбуваються у фіксований момент часу і не суперечать накладеним в'язям.

Останнє поняття є кінематичне. Воно ніяк не пов’язане з діючими на систему точок силами. При наданні точкам системи можливих переміщень нестаціонарні в’язі необхідно вважати “зупиненими”, час фіксованим.

Існує ще і третій вид переміщень – здійснені переміщення - такі переходи точок системи з одного положення в просторі і часі в інші, які не суперечать накладеним в'язям. Час при цьому не фіксується, нестаціонарні в’язі не “зупиняються ”.

Дійсні переміщення відповідають дійсному закону руху системи і відбуваються під дією сил, прикладених до точок системи. Ці переміщення утворюють одну із систем здійснених переміщень.

Якщо матеріальна точка може залишити в'язь, то така в'язь називається

однобічною або неутримуючою.

74

Якщо матеріальна точка не може залишити в'язь, то така в'язь називається двобічною або утримуючою.

Для знаходження можливих переміщень проводиться варіація функції за тими ж законами, що і диференціювання, тільки при цьому варіація часу δt=0.

Тут і далі позначатимемо вектор можливого переміщення r ,

здійсненного r , дійсного d r .

Ідеальною називається така в'язь, сума елементарних робіт яких на будьяких можливих переміщеннях системи дорівнює нулю.

У випадку ідеальних в'язей дійсне переміщення є одним з можливих Розглянемо властивості ідеальних в’язей, звернувшись до

найпоширеніших прикладів: поверхня, стрижень, трос.

Нехай точка знаходиться на ідеально гладкій поверхні (рис.3.1).

i 1

75

Знак нерівності відповідає випадку, коли точки покидають в’язь. Розглянемо приклад стримуючої в’язі – дві матеріальні точки, з’єднані

скористаємось теоремою про роботу сил, що діють на абсолютно тверде тіло.

Внаслідок того, що сили R1 і R 2 рівні за модулем і протилежні за напрямом, їх головний вектор і головний момент дорівнюють нулю:

A R r0 M 0 0 (с)

Поверхня – однобічна в’язь, тому A 0 , стрижень – двобічна, тому

A 0 .

Узагальнимо отриманіі результати.

Сума робіт реакцій ідеальних в’язей на можливих переміщеннях точок системи – величина додатна або рівна нулю:

i 1

Знак рівності у виразі (3.1) відповідає наявності двобічних в’язей і таких можливих переміщень, що звільняють точки системи від цих в’язей.

3.2. Принцип Даламбера

Повернімося до вивчення задач динаміки. Розглянемо принцип Даламбера, який тісно пов’язаний зі статикою і є її подальшим розвитком.

Закони Ньютона встановлені для вільної матеріальної точки і вільної матеріальної системи. Між тим більшість матеріальних систем, з якими зустрічаються на Землі, невільні. Наукові дослідження у XVIII і XIX ст. в області механіки були направлені на те, щоб розповсюдити закони руху, знайдені для вільних систем, на вивчення руху систем невільних. У працях вітчизняних вчених Я.Германа (1716 р.) і Л. Ейлера (1736 р.) були вказані методи, які дозволяють вирішувати задачі динаміки для невільних матеріальних систем. Незалежно від цих вчених декілька пізніше французький вчений Даламбер (1743 р.) сформулював принцип, який увійшов у механіку під назвою «принцип Даламбера». Доказ, запропонований Даламбером, був громіздкий, але він спростився у XIX столітті, коли була встановлена аксіома про звільнення від в’язів. Перейдем до доведення принципу Даламбера. Розглянемо

систему, яка складається з матеріальних точок з масами m1 , m2 ,..., mn

(рис.3.3). Якщо вона невільна, відкинемо в’язі та замінимо їх дію силами, рівними реакціям в’язей.

76

2) так як сила інерції прикладена не до точки, а до в’язі, рівновага системи, що визначається рівняннями (3.3), уявна або фіктивна.

Принцип Даламбера – простий наслідок законів Ньютона і аксіоми про звільнення від в’язів.

Механіку можна побудувати і без принципу Даламбера, але він має велике практичне значення, так як дозволяє формально зводити задачі динаміки до задач статики, що суттєво спрощує їх розв’язок. Принцип Даламбера найбільш доцільно застосовувати при розв'язуванні першої задачі динаміки, коли невідомими величинами є сили.

При розв’язанні другої задачі динаміки також можна застосовувати принцип Даламбера: він дозволяє дуже легко скласти диференціальні рівняння руху. Ця методика складання диференціальних рівнянь руху має місце у механіці суцільних середовищ: у теорії пружності, опору матеріалів, гідравліці і т.п. При цьому складають рівняння рівноваги, після того приписують силу інерції і отримують рівняння руху.

Розглянемо приклади.

1 приклад. На тросі підвішений тягар М. Це може бути, наприклад,

кабіна ліфту, прикріплена до тросу. Кабіна ліфта вагою P опускається униз із

прискоренням W . Потрібно знайти натяг тросу T (рис. 3.4).

Розв’язання. Зробимо аналіз сил, прикладених до кабіни ліфту: сила ваги P , натяг T і умовно вважаємо прикладеною силу інерції

Pg W .

Згідно із принципом Даламбера кабіна під дією сил P,T, повинна знаходитися у рівновазі. Всі сили діють по прямій, тому достатньо скласти одне рівняння рівноваги.

Проведемо вісь Ox , обравши її початок у закріпленій точці O . Прирівняємо до нуля суму проекцій всіх сил на вісь Ox :

Xi P T PgW 0 ,

звідки знайдемо натяг тросу

TP 1 Wg .

78

Знаючи прискорення вантажів знайдемо сили інерції

Складемо рівняння рівноваги за принципом Даламбера, прирівнявши до нуля суму моментів всіх сил відносно точки O :

3.3. Принцип ЛАГРАНЖА (Принцип можливих переміщень; Загальне рівняння статики)

Найзагальніші методи розв’язування задач механіки ґрунтуються на загальному принципі аналітичної статики, який називається принципом можливих переміщень, або принципом Лагранжа. Об’єднавши його з відомим принципом Даламбера, Лагранж дістав загальне рівняння динаміки, з якого як наслідок випливають основні диференціальні рівняння руху системи.

Принцип можливих переміщень є наслідком визначення можливих переміщень і деяких властивостей в’язей.

Принцип можливих переміщень

79

Якщо система матеріальних точок з ідеальними в’язями перебуває в рівновазі, то сума робіт активних сил, прикладених до точок системи, на можливих переміщеннях або дорівнює нулю, або від’ємна .

Розглянемо систему n точок (рис.3.6) з ідеальними в’язями, яка перебуває

i 1

Знак нерівності відповідає, як і раніше, наявності серед в’язей нестримуючих. Довели необхідність виконання умови (3.4) для рівноваги системи. Доведемо її достатність.

Припустимо, що система зі стану рівноваги починає рухатися. За теоремою про зміну кінетичної енергії системи робота, виконана діючими на систему силами, на дійсних переміщеннях додатна. Вважатимемо в’язі, накладені на точки системи, стаціонарними. Тоді дійсні переміщення збігаються з одним із можливих. Отже, це і буде робота, яку виконують активні сили на можливих переміщеннях. Але це твердження суперечить умові (3.4), тобто невірне.

Принцип повністю доведено.

Умовимося розглядати тільки такі можливі переміщення, які не звільняють систему від в’язей. Співвідношення (3.4) набуває вигляду

i 1

80