Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

attachment

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Основна ідея метода Пуанкаре заключається в тому, що можливі в квазілінійних системах при досить малому μ періодичні рухи розташовані поблизу періодичних рухів відповідних лінійних систем, в які перетворюються нелінійні системи при μ=0. Періодичні розв'язки лінійної системи, поблизу яких виникають періодичні розв'язки квазілінійної системи, називаються по відношенню до нелінійної породжуючими. В залежності від типу квазілінійної системи такі породжуючі системи бувають двох видів.

Перший відноситься до випадку, коли породжуюча система (породжуючі диференціальні рівняння) задаються диференціальними рівняннями вимушених коливань з періодичною правою частиною, яка залежить від часу (не автономна система). Цей породжуючий розв'язок є єдиним періодичним розв'язком, породжуючої системи, поблизу якого розташований єдиний періодичний розв'язок квазілінійної системи. Така схема розв'язку має місце для квазілінійної системи, що відповідає рівнянню:

x 02 x sin t x3 .

Другий випадок знаходження породжуючих систем буде мати місце для автономної квазілінійної системи

x 02 x x3 .

Породжуюче рівняння

x 02 x 0

має розв'язок x C1 cos 0t C2 sin 0t , що залежить від довільних параметрів С1

і С2. В цьому випадку квазілінійна система може мати декілька періодичних розв'язків, які виникають поблизу деяких відібраних розв'язків породжуючої системи з певними значеннями параметрів С1 і С2.

Незважаючи на тип квазілінійної системи (автономна чи неавтономна) Пуанкаре запропонував будувати розв'язок нелінійних рівнянь у вигляді ряду за степенями малого параметру μ. Тобто

x(t) 0 (t) 1 (t) 2 2 (t)

Цей метод розв'язання нелінійних рівнянь удосконалив О.М.Крилов. Суть його методу полягає у сумісному і одночасному розкладанні за степенями малого параметра μ шуканої функції x(t) і квадрата шуканої частоти, так як в нелінійних системах резонансна частота залежить від вхідної величини (наприклад, від величини деформації матеріалу).

4.4.2.Методи розв'язання нелінійних рівнянь

I.Метод Пуанкаре

Розглянемо на першому прикладі нелінійного диференціального рівняння другого порядку метод Пуанкаре для неавтономної системи.

Нехай рівняння має вигляд:

x 2 x h sin t x3	,	(4.15)
0

де ω0 не дорівнює цілому числу. Розв'язок цього рівняння шукаємо у вигляді

121

	x(t)			(t) (t) 2											(t)						(4.16)
			0					1						2
Підставимо цей ряд у вихідне рівняння (4.15)
(	(t) (t)		2 (t) ) 2									(	0	(t) (t) 2						2	(t) )
0	1			2							0		0					1		2
	h sin(t) (						0	(t) (t) 2										2	(t) )3
							0					1						2
Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях μ зліва і справа. Тоді
отримаємо
		0 :				2				0	h sin t
				0				0		0
		1 :				2			1		3										(4.17)
				1				0	1			0
		2 :				2				2	3 2					1
				2				0		2			0			1
Знайдемо частинний розв'язок першого рівняння
			0ч (t) C1 sin t C2 cos t .
Тоді
		0ч (t) C1 cost C2 sin t
		0ч (t) C1 sin t C2 cost
Підставивши 0ч , 0ч			і 0ч			в перше рівняння системи (4.17), знаходимо
С1 і С2.
			С1				h			; С2 0

						2		1
						0
і частинний розв'язок
	0ч (t)	h			sin t			0 (t) 0одн (t) 0ч (t)

		2	1
	0
Загальний розв'язок першого рівняння системи (4.17) має вид
	0 (t) C3 cos 0t C4 sin 0t															h
																	sin t				(4.18)
															2 1		sin t				(4.18)
																0
так як розв'язок однорідного рівняння, що описує власні коливання
						2				0	0
				0				0		0
має вид:

0одн (t) C3 cos 0t C4 sin 0t .

Сталі інтегрування С3 і С4 знаходимо із умови періодичності, тобто


0одн (2 ) 0одн (0)					0;
0одн (2 ) 0одн (0)					0.
Запишемо систему рівнянь для знаходження С3 і С4
C3 (cos 2 0	1) C4 sin 2 0						0;
C3 sin 2 0	C4 (cos 2 0 1) 0;
C3	3	;	C4	4		,	(*)

122

де cos 2 0 1 2 sin 2 0 2 2 2 cos 2 0 2(1 co s 2 0 ) 0 ,

тобто, С3=0 і С4=0.

Тоді, згідно з (4.18)

		0 (t)						h				sin t .											(4.19)

							2 1
								0
Підставимо (4.5) в друге рівняння системи (4.17)
		2			3							h3					3
		1 0 1			0										sin			t .					(4.20)
		1 0 1			0				02 1 3						sin			t .					(4.20)
Так як за формулою пониження степеня sin3 t																			3sin(t) sin(3t)				, то (4.20)
Так як за формулою пониження степеня sin3 t																			4				, то (4.20)
																			4
прийме вид
		2				h3					3sin t sin 3t .

1		0 1	4 02 1 3																				(4.21)
Загальний розв'зок рівняння (4.21) складається з суми розв'язків
однорідного рівняння
		1одн (t) C5 cos 0t C6 sin 0t ,																					(4.22)
та частинного розв'язку, що шукається у виді
1ч (t) А1 sin t А2 cost В1 sin 3t В2 cos3t .																							(4.23)
Знайшовши 1ч	та 1ч , підставимо їх разом з (4.23) в рівняння (4.21), тоді
отримаємо
А1		3h3		; B1											h3						.
А1	4( 2 1)4			; B1						4( 2				1)3 ( 2					9)		.
		0								0								0
Загальний розв'язок рівняння (4.21)											має вигляд
1 (t) C5 cos 0t C6 sin 0t						3h3							sin t							h3
																						sin 3t . (4.24)
						4 02		1 4								4 02			1 3 02 9			sin 3t . (4.24)
Умови періодичності виражаються подібними однорідними рівняннями
		1одн (2 ) 1одн (0)												0;
		1одн (2 ) 1одн (0)												0.
Умови періодичності для всіх функцій 0 , 1 , 2 , будуть однакові.
Таким чином, С5=0, С6=0 і тоді
1 (t)		3h3			sin t									h3						sin 3t .
1 (t)	4 02 1 4				sin t			4 02 1 3 02										9		sin 3t .

Зупиняючись на першому наближенні для х(t), отримаємо

	h		3h3
x(t) 0 (t) 1(t)		sin t
x(t) 0 (t) 1(t)	02 1	sin t	4 02 1 4

	h3
sin t			sin 3t .
sin t	02 1 3	02 9	sin 3t .
4	02 1 3	02 9

123

Цей розв'язок при досить малому μ наближається до φ0(t), обертаючись в нього при μ=0.

В данному випадку лінеаризація системи можлива, якщо визначник Δ≠0 (див. систему (*)). Тобто це і є, свого роду, критерій допустимості лінеаризації нелінійної системи.

II. Метод Крилова

Розглянемо другий приклад нелінійного диференціального рівняння

другого порядку, що описує рух автономної системи методом Крилова.
Нехай рівняння має вид
x 2 x x3 0 .	(4.25)
0
Розв'язок цього рівняння шукаємо у вигляді
x t 0 t 1 t 2 2 t 3 3 t ...	(4.26)

Крім того, будемо шукати квадрат власної частоти також у вигляді ряду:

p2 2	C	2C	3C ... ,	(4.27)
0	1	2	3

де С1, С2, С3 – деякі шукані константи.

Підставимо (4.26) і (4.27) в (4.25) і отримаємо

0 1 2 2 ... p2 C1 2C2 ... 0 1 2 2 ...0 1 2 2 ... 3 0

Побудуємо диференціальне рівняння за степенями малого параметра .

0 :		p2	0	0;
	0		0
1 :	p2 C 3 ;								(4.28)
	1	1		1	0	0			(4.28)
	1	1		1	0	0
2 :		p2	2	C C			0	3 2	1
	2		2	1	1	2	0	0	1

Розв'язок системи рівнянь (4.28) шукаємо при наступних початкових

умовах для x(t): t=0,	x(0) a , x(0) 0 ,
або	0 (0) a ,		0 (0) 0 ,
	1 (0) 0 ,		1 (0) 0 ,				(4.29)
	2 (0) 0 ,		2 (0) 0 ,
Розглянемо перше рівняння системи (4.28)						0 )
0	p 0 0 .	( r		p		0 )
	2		2		2
Тоді	0 Acos pt Bsin pt .

Підставивши початкові умови (4.29), знайдемо А=а, В=0. Остаточно

φ0 = а cospt. (4.30)

Цей розв'язок підставимо у друге рівняння системи (4.28)

	p2	C a cos pt a3 cos3	pt .	(4.31)
1	1	1

Скориставшись тим, що co s3 t co s 3pt 3co s pt , отримаємо (4.31) у вигляді

124

2		3		3		a3
1 p 1	C1a		a		cos pt		cos 3pt .	(4.32)
		4				4

Для того, щоб не отримати "псевдо резонанс" в системі необхідно покласти

C a

3a3

0, звідки C

a3 .

Після цього рівняння (4.32) матиме вигляд

cos 3pt .

(4.33)

Знайдемо частинний розв’язок (4.33)

1ч (t) M cos3pt N sin 3pt .

Знайшовши 1ч , 1ч

і підставивши разом з 1ч у вихідне рівняння (4.33),

отримаємо

;

N=0.

32 p2

Остаточно

1ч (t)

cos 3pt .

(4.34)

32 p2

Розв'язок однорідного рівняння для (4.33) має вигляд

1одн (t) A1 cos pt B1 sin pt .

Запишемо загальний розв'язок рівняння (4.33)

1 (t) A1 cos pt B1 sin pt

cos 3pt .

(4.35)

32 p2

При нульових початкових умовах

(0) 0; (0)

;

B 0

32 p2

1 (t)

cos 3pt cos pt .

(4.36)

32 p2

Таким чином, розв'язок нелінійного рівняння (4.25) в першому

наближенні має вигляд

x t 0

t 1 t a cos pt

cos 3pt cos pt

32 p2

де

(4.37)

Частота власних коливань збільшується при збільшенні амплітуди.

Для того, щоб отримати друге наближення, необхідно підставити0 і 1 в третє рівняння системи (4.28) і так далі.

125

4.4.3. Приклади деяких нелінійних систем

Розглянемо рух маятника і запишемо його енергетичне рівняння, згідно з яким сума кінетичної Т(х) і потенціальної П(х) енергій визначає

повну енергію Е системи.

T x П x Е ,

Fвід

або

mV 2

П x Е ;

Зробимо ряд перетворень

mg		m dx 2	П x Е ;


рис. 4.23	рис.4.24

		2 dt

m dx 2

Е П x ;

;

dt2

2 x

t t0

2 x1

(4.38)

(4.39)

(4.40)

(4.41)

(**)

де

x1, x2 – максимальні

відхилення

маятника від

положення рівноваги

( x2 x1 xmax ).

Сила опору Fon

Cxdx , тоді П

та

Cxmax

, де С – коефіцієнт

жорсткості пружини (рис.4.24).

При

t 0 t

2 C

2 C x

2 xm 2 x

arcsin

0 2

T 2t 2 .0

Повернемося до виразу (**)

mgl 1 cos - чисельно дорівнює роботі по переміщенню маятника

зданого положення в початкове (див. рис.4.23), а

mgl 1 cos m .

126

Замінимо														cos 1 2sin2																				,			cos				m		1 2 sin2 m ,
																																		2							m											2
																																		2																		2
	sin								sin						m		U kU																	cos					d			kdU								k sin m							const ,
	sin								sin								U kU																	cos								kdU								k sin m							const ,
					2										2																					2		2																	2
d								2kdU												kdU																2kdU								, де U – невідома функція.

								cos										1 sin									2								1 U 2k 2
																											2								1 U 2k 2
												2																2
Тоді,
																						d																																d
t							m															d																				m												d

								2 0																																2mgl 0
														mgl				cos cos m																														2					2 m		sin			2
														mgl				cos cos m																																			2 m					2
																																																	sin					2				2
																																																						2				2
					1						1												2kdU																				1				1							dU
					1																		2kdU																				1											dU


				2 gl 0																																								gl 0
				2 gl 0											1		U 2k 2											k		2			U 2k 2											gl 0					1		U 2k 2					1 U 2

					1				2											cos d
					1															cos d

						gl 0								1 k 2 sin2																1 sin2
						gl 0								1 k 2 sin2																1 sin2


		1							2							d
																														–				повний								еліптичний											інтеграл першого роду,

													1 k				2					2
			gl						0				1 k					sin

U sin ,				dU cos d .
Розкладемо в ряд Тейлора підкореневий вираз
																									2						2												k2 sin2
																			1 k								sin								d 1												2				...
																																															2
Тоді,

																2					k		2															2								k	2			k	2
																2
						t				gl 1															sin2									d					1													cos 2 d
						t				gl 1															sin2									d					1													cos 2 d
																0						2																	0						2 2				4
																0																							0
																		k 2											k 2																			k 2								k 2


														2										2										sin 2					2															1
														2				4						2						4				sin 2					2				2					8				2		1			4
														0				4						0						4									0				2					8				2					4
														0										0															0
Знайдемо період коливань маятника
																																																											sin		2
					4l													k 2								2 l										k 2						2					l				k	2							sin		2
T														1																		1																1						Tлк			1				2	.


						gl					2							4										gl								4									g						4									4

127

З останнього виразу можемо зробити висновок, що період власних коливань маятника є залежним від початкових умов, тобто коливання не є ізохронними.

4.5. Коливання системи з розподіленими параметрами

До цього часу закономірності коливальних рухів розглядалися у рамках математичних моделей коливальних систем з зосередженими параметрами. Елементами систем були такі об'єкти, як абсолютно тверде тіло, з певною масою, та ідеальна пружина, маса якої не враховувалась. Такі моделі не відповідають сучасним уявленням про будову матерії, але вони дають можливість якісно оцінити процеси, що відбуваються в коливальних системах. У зв'язку з вимогою погодження результатів експериментів і результатів розрахунків створюються моделі коливальних систем з розподіленими параметрами або суцільних середовищ. У рамках уявлень про суцільне середовище можна будувати велику кількість моделей коливальних систем різної складності.

Розглянемо найпростішу одновимірну модель – модель струни.

		4.5.1. Вільні поперечні коливання струни
	Виведемо диференціальне рівняння, що описує вільні коливання струни.
Для цього розглянемо струну, що закріплена в точках А і В (рис.4.25а).
	Початковий натяг струни позначимо через Т. Будемо вважати відхилення
елемента струни маси dm від початкового горизонтального положення
незначним, а зміною натягу Т при цьому нехтуємо, тобто Т=const. Довжина
струни l.
	Враховуючи, що при відхиленні всі точки струни знаходяться в площині
Оху, розглянемо елемент струни маси dm з координатами
у				х і х1=х+dх. Проведемо дотичні
у				до струни в початковій та
				до струни в початковій та
			T	кінцевій точках елементу; кути
	dy		α1	нахилу дотичних з віссю х
	dy

				будуть	відповідно		α	і	α1
A	x1	B	α	(рис.4.25б). Враховуючи те, що
0	dx	x	α	відхилення елемента струни від
x	dx		T	горизонтального			положення
	a)		б)	горизонтального			положення
	a)		б)	малі,	кути	також	вважаємо
		рис.4.25		малі,	кути	також	вважаємо
		рис.4.25		малими.
				малими.
	Складова натягу струни по осі Оу в точці х має вигляд
			Yx T sin ,					(4.42)
а в точці х1=х+dх
			Y1 T sin 1 .					(4.43)
	Якщо кути α і α1 малі, то
128


sin tg		y		;
sin tg		x		;		(4.44)
		x
			y		2 y
sin tg			y		2 y	dx.
sin tg			x		x2	dx.
1	1		x		x2

Результуючий натяг ΔY, що діє на елемент струни рівний

Y Y Y T	2 y	dx ,	(4.45)
	x2
1

Для того, щоб знайти рівняння руху елемента струни, необхідно у відповідності з принципом 'Аламбера, ΔY прирівняти силі інерції елемента, що

дорівнює 2 y dm . Таким чином,

dm 2 y T 2 y dx ,

t2 x2

де dm glP dx , Р – вага струни.

Запишемо рівняння (4.46) у наступному вигляді

2 y	Tgl 2 y	.

t2	P x2

(4.46)

(4.47)

позначивши	Tgl	c2 , отримаємо	диференціальне рівняння				поперечних
позначивши	P	c2 , отримаємо	диференціальне рівняння				поперечних
	P
коливань натягнутої струни
		2 y	c	2	2 y	.	(4.48)
		t2	c		x2	.	(4.48)
		t2			x2
Будемо шукати розв'язок рівняння (4.48) у вигляді
		y F(x,t) .					(4.49)

Ця функція повинна задовольняти наступним умовам:

1)диференціальному рівнянню (4.48);

2)граничним умовам, тобто умовам в точка х=0 і х=l, а саме:

yx 0	F (0, t) 0;	(4.50)
yx l	F (l, t) 0;

3) початковим умовам, тобто:

yt 0

F(x,0) f1 (x).

(4.51)

Функція f1 (x) задає форму всієї струни в початковий момент. Крім того, необхідно задати першу похідну по t при t=0.

y	t 0	F ( x,0) f	2	( x).	(4.52)
	t 0	t	2
		t

Умова (4.52) означає, що в початковий момент всі точки струни мають задану швидкість, в тому числі можуть знаходитись в стані спокою.

129

Розв'язок рівняння (4.48), у відповідності з методом Фур'є, шукаємо у вигляді добутку двох функцій

y X (x) (t).

(4.53)

Продиференціювавши вираз (4.53) по х і t, маємо

2 y	2 X	;	2 y	X	2	.	(4.54)
x2	x2		t2		t2

Після підстановки (4.54) в (4.48) отримаємо

X	2		2		2 X		, або
	t2	c			x2
							(4.55)
1 2			c2	2 X
						.

t2			X	x2

Прирівнюючи ліву і праву частини до однієї і тієї ж постійної величини -k2, матимемо два рівняння

2	k			2	;	2 X	c2	X , або
t2						x2	k 2
								(4.56)
2						2 X	c2
	k	2	0;					X 0.
t2						x2	k 2

Частинні розв'язки цих однорідних рівнянь мають вигляд:

k 2

cos kt;

sin kt;

(4.57)

cos

sin

В цьому легко

переконатися, підставивши (4.57) в (4.56). Функція

cos

не відповідає граничній умові

F(0,t) 0 , так як при х=0 в нуль не

обертається і тому її виключаємо з подальшого розгляду.

Для того, щоб функція X 2 sin kc x оберталась в нуль при х=l необхідно,

щоб kl=cnπ, де n – ціле число. Рівність
kl=cnπ			(4.58)
називається рівнянням власних частот (або рівнянням періодів) струни.
З (4.58) випливає
k=	cn	.	(4.59)

	l

Тепер маємо два частинних розв'язки рівняння (4.58)

y		sin	n		x cos		cn		t;

1				l			l
										(4.60)
				n		cn
y		sin			x sin			t.
	2
				l			l

Помноживши кожне з рівнянь (4.60) на невизначені коефіцієнти Аn та Вn, і склавши їх, отримаємо загальний розв'язок рівняння (4.48) у вигляді:

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016393.9 Кб8ASSUD_Orda_4ASU-A.docx
#
23.11.2019349.7 Кб5ASS_1nn.doc
#
17.03.20161.07 Mб6atp_shemu_1354515770.pdf
#
21.11.2018404.48 Кб2attachment.doc
#
15.04.2019617.47 Кб1attachment.doc
#
12.05.20153.12 Mб13attachment.pdf
#
15.04.2019250.88 Кб1attachment1.doc
#
12.05.20152.01 Mб69AutoCAD.pdf
#
17.03.20161.97 Mб31A_S_Makarenko_Pedagogicheskaya_poema МАКАРЕНКО ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПОЭМА.pdf
#
17.03.20161.59 Mб22b.pdf
#
17.03.2016146.43 Кб6bakalavr_diploma2012.doc