attachment

Система рівнянь руху (3.24) називається системою рівнянь Лагранжа другого роду. Ці рівняння є передовими не лише в теоретичній механіці, а й інших розділах теоретичної фізики (рівняння тяжіння Ейнштейна, рівняння Максвела в електродинаміці і т.і.).

Рівняння Лагранжа другого роду – система звичайних диференціальних рівнянь другого порядку відносно узагальнених координат q j . Кількість

рівнянь Лагранжа другого роду рівна числу ступенів вільності системи N. Розв'язавши рівняння Лагранжа другого роду, знайдемо закон руху

системи, а потім за принципом Деламбера визначаємо реакції в’язей.

3.7. Методика використання рівнянь Лагранжа другого роду

Перевагою використання рівнянь Лагранжа другого роду до вирішення задач динаміки є єдина методика вирішення задач. Розглянемо порядок роз в’язання надач за допомогою рівнянь Лагранжа другого роду. Він зводиться до наступного:

1)Визначаємо кількість ступенів вільності системи та вибираємо узагальнені координати;

2)Знаходимо узагальнені сили за правилом, описаним у 3.4 б.;

3)Визначаємо кінетичну енергію системи як функцію узагальнених координат і узагальнених швидкостей;

4)Знайдені величини підставляємо у (3.24), отримуємо рівняння Лагранжа другого роду;

5)Спрощуємо та інтегруємо рівняння Лагранжа другого роду;

6)Визначаємо сталі інтегрування із початкових умовзадачі;

7)Знаходимо закон руху точок системи;

8)За найденим законом визначаємо реакції в’язей;

9)Проводимо аналіз результатів обчислень.

91

Розділ 4. Основи теорії коливань

Коливаннями називаються процеси, що вирізняються тією, чи іншою мірою повторюваності. В залежності від фізичної природи повторюваного процесу розрізняють коливання: механічні, електромагнітні, електромеханічні

та ін.

Коливання широко розповсюджені в природі та техніці. В багатьох випадках вони відіграють негативну роль. Разом з тим, коливальні процеси лежать в самій основі різних галузей техніки.

В залежності від характера впливу на коливальну систему розрізняють

вільні (власні) коливання, вимушені коливання, автоколивання та параметричні коливання.

Найпростіша коливальна система має два елементи – пружність і масу. При цьому, як найпростіший елемент маси можна використовувати матеріальну

точку. У загальному випадку її рух повністю описується заданням радіуса-

вектора положення точки як функції часу r або його трьома проекціями на осі (наприклад, декартової системи координат x t ,y t ,z t ).

4.1. Коливання системи з одним ступенем вільності

Система, для описання руху якої достатньо знати лише одну функцію часу називається системою з одним ступенем вільності.

Далі розглянемо різні види коливань систем з одним ступенем вільності.

4.1.1.Вільні (власні) коливання

Вільними або власними називаються такі коливання, що відбуваються в системі, наданій самій собі після надання їй поштовху або виведення її з рівноваги.

Прикладом можуть виступати коливання кульки, підвішеної на нитці (маятник), вантажу на пружинці або електричного заряду в коливальному контурі.

В механіці під маятником розуміють тверде тіло, що виконує під дією сили тяжіння коливання навколо нерухомої точки або вісі. Прийнято розрізняти

математичний та фізичний маятники.

92

диференціальне рівняння руху математичного маятника.

Приклад 2. Фізичний маятник

Якщо тіло, що коливається неможна представити як матеріальну точку, то маятник називається фізичним. При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут виникає обертаючий момент, що намагається повернути маятник до положення рівноваги.

маятника.

Приклад 3. Коливальний контур

Найпростіший електричний коливальний контур складається з катушки та конденсатора, з'єднаних між собою. Вважатимемо,що цей контур з

94

зосередженими ємністю та індуктивністю, або замкненим коливальним контуром.

Коливання в данному контурі являють собою взаємне перетворення електричної енергії конденсатора і магнітної енергії катушки. Під час таких коливань у колі виникає струм, що з плином часу змінює не тільки свою амплітуду, а і напрямок, який двічі на період змінюється на протилежний.

Електричні коливання, що відбуваються під дією процесів в самому коливальному контурі отримали назву власних електричних коливань.

ємності, L – індуктивність, С - ємність .

Приклад 4. Маса на пружині

Найпростішою коливальною системою в механіці є маса, підвішена на пружині. Система рухається у відсутності тертя. При цьому ми вважаємо, що масою пружини можна знехтувати в порівнянні з масою на пружині, а уся пружність зосереджена в пружині. Це система з зосередженими параметрами.

Коливання в даній системі являють собою взаємне перетворення кінетичної енергії маси і потенціальної енергії деформації пружини.

95

Отримаємо x mc x 0 - диференціальне рівняння руху маси на пружині.

Знайдемо вигляд загального диференціального рівняння, яке описує всі чотири розглянуті процеси.

96

коливань – проміжок часу, за який фаза змінюється на 2 . f 0 - частота в

2

Гц.

Власні коливання є ізохронними, бо їх період коливань не залежить від початкових умов, а залежить лише від параметрів коливальної системи.

4.1.2. Вимушені коливання системи

а) Вимушені коливання в системі при відсутності демпфірування

Вимушені коливання системи – це такі її рухи, які зумовлені дією зовнішньої сили. Математичне моделювання такої ситуації потребує прийняття певної моделі зовнішньої сили. При цьому вважають, що зовнішня сила не залежить ані від узагальненої координати, ані від узагальненої швидкості, тобто від характеру руху системи.

Знайдемо розв'язок диференціального рівняння вимушених коливань.

97

98

З отриманого результату можемо зробити висновок, що амплітуда на резонансі пропорційна часу.

б) Вимушені коливання в системі при наявності демпфірування

Розглянемо випадок, коли сила опору середовища, що діє на і-ту точку

системи, пропорційна першому степені швидкості Fi RiVi , де Ri - коефіцієнт

сил тертя, що визначається звичайно експериментально.

Знайдемо узагальнену силу опору середовища, скориставшись загальним