Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

attachment

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

y		sin	n	x( A	cos	cn	t B	sin	cn	t),
	n
			l	n		l	n		l

або, позначивши

A M

cos

;

B M

sin

деякі нові коефіцієнти, отримаємо

sin

x cos

Вираз (4.62) характеризує періодичний коливальний

круговою частотою

або T

cn l

а частота в Гц дорівнює

Повернемось до функції Х2 (див.4.57)

sin

x sin

і знайдемо перші три форми коливань струни (n=1, n=2, n=3). На рис.4.26 вони представлені графічно

(4.61)

де Mn i n -

(4.62)

рух струни з

(4.63)

(4.64)

(4.65)

у			у				у
0	l	x	0		l/2	l x	0		l/3 2l/3 l x
	l	x		T	l/2	l x		T	l/3 2l/3 l x
	a)				б)				в)
					рис.4.26

Характер руху струни залежить від початкових умов. Наприклад, якщо при t=0 струна мала форму першої кривої (рис.4.26а) і всі її точки були в спокої ( x 0 ), то вона буде надалі коливатись тільки з основною частотою (в основному тоні). Якщо ж початкова форма струни інша, то, крім основного тону з'являться і обертони, так як коливання струни будуть являти собою сукупність накладених один на одний окремих коливань. Рівняння руху струни (4.61) набуде в цьому випадку вигляду

y sin

x( An cos n

t Bn sin n

t),

(4.66)

Для остаточного розв'язку задачі необхідно з початкових умов (4.51) і

(4.52) знайти A i B рівняння (4.66). З умови (4.51) випливає

n x

yt 0 An

sin

f1 (x),

(4.67)

n 0

131

i t .

а з умови (4.52)

		nc		n x
yt 0	Bn		sin		f2 (x).	(4.68)
		l		l
	n 0

Тут f1 (x) і f2 (x) - функції, що наперед задані в інтервалі [0,l].

4.5.2 Вимушені коливання струни з урахуванням демпфірування

Розглянемо струну довжиною l, що закріплена на кінцях. Нехай функція F x,t характеризує зовнішню силу на одиницю довжини струни.

Припустимо, що F x,t не залежить від руху струни, тобто являє собою

джерело сили нескінченної пружності.

Для багатьох коливальних систем в акустиці, крім процесу перетворення механічної енергії в теплоту при деформації елемента струни, суттєвим механізмом розсіювання енергії є витрати на випромінювання, тобто втрати енергії за рахунок звукових хвиль, що біжать від тіла, що здійснює коливання. У багатьох практично важливих акустичних системах такі втрати на випромінювання суттєво перевищують втрати енергії у матеріалі. У випадку тонкої струни втрати на випромінювання дуже малі. Більш суттєвими втратами в реальній струні є втрати в опорах, тобто втрати, пов’язані з переходом енергії від коливаючої струни до того об’єкту, на якому закріплена струна. У музичних інструментах саме за рахунок таких втрат створюється звук у навколишньому середовищі.

Розглянемо найпростіший механізм впливу демпфірування на коливання струни.

Як і у випадку систем з зосередженими параметрами припускаємо, що сила опору на одиницю довжини струни пропорційна швидкості руху елемента струни з коефіцієнтом пропорційності R. Для елемента струни довжиною dx

проекція сили опору на вісь y дорівнюватиме R yt dx .

Таким чином, рівняння руху елементу струни набирає вигляду:

2 y

F x, t ,

t 2

або:

2 y

f x, t ,

(4.69)

t 2

де c2

f x,t

F x,t

Нехай зовнішня сила – періодична за часом: f x,t f x e

Розв’язок рівняння (4.69) складається з власних та вимушених коливань. Розглянемо усталені коливання струни, тобто її рухи в ті моменти часу, коли вільні коливання вже згасли. Частковий розв’язок рівняння

132

1 2 y

2 y

f x e i t

c2 t 2

будемо шукати у вигляді:

y x,t y x e i t .

Підставляючи (4.71) в (4.70), отримаємо:

2 y

y f x 0 .

(4.70)

(4.71)

(4.72)

Частковий розв’язок цього рівняння має задовольняти граничним умовам на кінцях струни. Тому, при побудові розв’язку доцільно використовувати властивості нормальних форм коливань ідеальної струни

	n
yn sin		x, n 1,2,3... . Представимо в		вигляді рядів Фур’є	по власним
yn sin	l	x, n 1,2,3... . Представимо в		вигляді рядів Фур’є	по власним
	l
(нормальним) формам коливань струни зовнішнє збурення f x					та шуканий
частинний розв’язок			y x :
			f x fn sin n x;

			n 1	l	(4.73)
			y x yn sin n x,		(4.73)


			n 1	l

де fn – відомі коефіцієнти при заданому розподілі зовнішньої сили в ряд Фур’є:

f		2	l	f x sin	n	xdx ,
	n
		l	0		l

а величини yn підлягають визначенню. Після підстановки (4.73) у (4.72) дістанемо:

		2
yn
yn			2
n 1	c

тоді:

n 2

sin

x fn sin

x ,

n 1

(4.74)

(4.75)

Останнє співвідношення визначає значення величин yn коефіцієнти fn розкладання зовнішньої сили в ряд Фур’є.

Остаточно вимушені коливання елемента струни

наступним виразом:		fn 2		sin n xe i t ,
y x,t		fn 2		sin n xe i t ,

n 1 2		n			l
			i2
	c2		i2
	c2	l

через задані

описуються

(4.76)

133

або:

fn c

i t

y x,t

sin

xe ,

(4.77)

i2 c

n 1

де

– частота власних (нормальних) коливань струни.

Ряд (4.77) розкриває явище резонансу.

Покладемо 0 , тобто при коливаннях струни демпфірування не враховується. Тоді для виникнення резонансу необхідно виконання двох умов: перше – наближення частоти зовнішньої сили до однієї з власних частот струни n ; друга – наявність у просторовому розподілі зовнішньої сили

складової, що відповідає n-ій формі коливань. Якщо, наприклад, 2 , то необхідно виконання умови f2 0 . У противному разі резонанс не відбудеться.

Якщо ці дві умови виконуються, то амплітуда руху з плином часу необмежено зростає і форма струни наближається до форми, що відповідає даній моді коливань.

Залежність вимушеного руху струни від характеру зовнішнього навантаження часто виявляється при збудженні її зосередженою силою. Якщо сила прикладається у вузлі однієї з нормальних мод, то така мода в русі відсутня. Це широко використовується при проектування музичних інструментів. Відомо, що характер звучання має неприємний відтінок, коли разом з основним тоном збуджуються гармоніки високих частот (починаючи з 8-ої). Тому в роялі місце удару молоточка вибирають близько від точки закріплення струни між вузлами 8-ої та 9-ої гармонік, щоб зменшити їх енергію збудження. Регулюючи ширину молоточка, та його жорсткість, прагнуть збільшити відносну енергію низьких гармонік (4-ої і 5-ої). Для такого удару частина молоточка виготовляється із спеціального підібраного матеріалу.

Повернемося до виразу (4.76). Тут добре видно, що ступінь збудження кожної власної форми коливань залежить від ступеня близькості заданого

хвильового числа					і	хвильового числа власної форми	n	. У разі резонансу,
				c			l

тобто		n	, де n –			деякий фіксований номер, амплітуда коливань струни
	c	l

залишається скінченною. Вплив демпфірування при вимушених коливаннях струни відображується на тих формах, для яких можна вважати:

Для тих власних форм, де

n		2
				2 .
				2 .
	l
2		n			2
2		n			2
						2 наявність демпфірування
c2						2 наявність демпфірування
c2			l

несуттєва. Слід також звернути увагу на аналогію знаменника (4.76) з комплексним механічним імпедансом Z системи з одним ступенем вільності. У

134

випадку системі з розподіленими параметрами можна говорити про комплексний імпеданс кожного нормального коливання.

4.5.3 Поздовжні хвилі у пружному стрижні (поздовжні коливання пружного стрижня)

Крім струни, ще однією одновимірною системою з розподіленими параметрами є стрижень.

Стрижень – фізичне тіло довгастої форми, в якому поперечний розмір набагато менший за довжину (D<<L, якщо, наприклад, стрижень циліндричної форми).

На відміну від струни стрижень має значну поперечну жорсткість. Розрізняють три типи коливань стрижня:

повздовжні;

крутильні;

поперечні.

Розглянемо більш детально поздовжні коливання.

Будемо вважати, що всі поперечні перерізи стрижня x=const (рис.4.27) у процесі деформації залишаються плоскими і зміщуються паралельно один одному.

		z	D		Відновлюючи сила в струні забезпечувалась за
			D	рахунок попереднього натягу. У випадку пружного
				рахунок попереднього натягу. У випадку пружного
			x	стрижня така		сила визначається	внутрішніми
			x	пружними силами, що виникають при зміні відстані
	у			пружними силами, що виникають при зміні відстані
	у			між	частинками	пружного тіла.	В механіці
L				між	частинками	пружного тіла.	В механіці
L				деформованого твердого тіла ці сили характеризуються

рис.4.27	напругою σ, тобто величиною сили на одиницю площі.

При коливаннях пружного стрижня припускаємо, що внутрішні напруги в кожному перерізі стрижня σ(х) рівномірно розподілені по його перерізу. Якщо

відносне видовження стрижня	L , де		L - початкова довжина,	а L -
	L
видовження стрижня, то модуль пружності знаходиться з виразу
	F	E	,	(4.78)

	S

причому S - площа поперечного перерізу стрижня, E - модуль Юнга. Співвідношення (4.78) являє собою закон Гука, виражений через напругу

та видовження за умови малих деформацій L 1 .

Рух точок стрижня у рамках прийнятих припущень можна описати функцією u(x,t), що характеризує зміщення точок стрижня відносно положення рівноваги.

У відповідності з принципом Д'Аламбера сили, що діють на елементарний відрізок стрижня довжиною dx (рис.4.28) будуть дорівнювати

135

σ(x)		σ(x+dx)

x	dx	х1=x+dx x
	рис.4.28

dxS	2u			x dx x S , (4.79)
	t	2
	t
де -	густина			матеріалу стрижня, а
dxS dm	-		елементарна маса одиничного

елементу стрижня. Рівняння (4.79) можна привести до вигляду

dxS

dxS, або

(4.80)

Підставивши

вираз (4.78) у

формі

E E

рівняння (4.80)

отримаємо диференціальне рівняння руху елемента стрижня

або

(4.81)

2 2u

де c2

- деяка

константа,

що

характеризує швидкість

розповсюдження

поздовжніх хвиль у стрижні.

Рівняння поздовжнього руху елемента стрижня за формою повністю збігається з рівнянням, що описує поперечні коливання елемента струни. Це дозволяє стверджувати, що його розв'язок співпадає з розв'язком, отриманим для диференціального рівняння вільних коливань струни.

Покажемо, крім того, що розв'язком рівняння (4.81) може бути сума двох функцій зі спеціальними аргументами:

		u(x,t) (x ct) (x ct).									(4.82)
	Неважко переконатися, що вираз
	u(x, t) A(x ct) A(x ct) ,										(4.83)
	де А – деяка стала, також є розв'язком рівняння (4.81).
	З'ясуємо фізичний зміст функцій (4.82). Розглянемо одну зі складових
цієї функції, наприклад,		(x ct) .
	В деякій фіксованій точці х=х1 у момент часу t=t1								ця складова має вид
(x	ct ) . Через деякий час t		2	t	x	, де	x - відстань від точки х			1	до точки
1	1		2	1	c					1
					c
x2 x1 x ця складова
	(x ct )		x x c(t				x )	(x ct ).
	2	2		1		1		1	1
							c
136

Тобто, збурений стан в стрижні, який спостерігається в точці х1 в момент t1,

зберігається таким самим у точці x

x з плином часу t x (рис.4.29).

Отже,

функція (x ct) описує перенесення

збурення вздовж стрижня у напрямку зростання х зі

швидкістю с.

Аналогічно, функція (x ct) описує

перенесення

збурення в напрямку зменшення х

тією самою швидкістю с.

Фізичне явище, що описується такою

математичною

залежністю

називається

рухомою

хвилею.

При

цьому аргументи функцій

u(x, t)

c(t1+t2)

(x ct)

і (x ct) називають

фазою хвилі,

а сталу

рис.4.29

величину с – фазовою швидкістю.

Отже, функція (4.83) являє собою суму хвиль, що біжать у протилежних

напрямках. На відміну від струни, де швидкість руху частинок струни напрямлена перпендикулярно до рівноважного положення, тут напрям поширення хвиль і рух елементарних частинок стрижня збігаються. Такі хвильові рухи називаються поздовжніми хвилями, на відміну від поперечних хвиль в струні, коли швидкість руху частинок струни напрямлена перпендикулярно до положення рівноваги, а хвильове збурення поширюється вздовж струни.

Визначимо хвильовий (комплексний) опір стрижня для поздовжніх хвиль у ньому.

Під хвильовим опором розуміють відношення внутрішньої сили в деякому

перерізі до швидкості руху точки прикладання сили, тобто
Z	Fx					E u x	.	(4.84)
Z							.	(4.84)
	u		u			u t
Для хвилі (x ct)
	Z		E		c,			(4.85)
	Z		c		c,			(4.85)
			c
де - похідна по повному аргументу, а для хвилі (x ct)
	Z	E		c.				(4.86)
	Z		c	c.				(4.86)

В загальному випадку значення хвильового опору несе інформацію і про напрям поширення хвилі. Така сама картина має місце для хвильового опору в струні.

Зауважимо, що добуток густини середовища на фазову швидкість хвилі характеризує хвильовий опір найрізноманітніших середовищ.

Розглянемо типові граничні умови для стрижня:

а) кінець стрижня (х=1) защемлений, що означає відсутність зміщення на кінці стрижня в певний момент часу, тобто

137

u(l, t) 0	u(l, t) 0 ;						(4.87)

б) кінець стрижня (х=1) вільний, що означає відсутність напруг на кінці
стрижня в певний момент часу, тобто
(l,t) 0		u					(4.88)
(l,t) 0		x		(l,t) 0 .			(4.88)
		x
Визначимо нормальні коливання стрижня довжини 1 за різними
граничними умовами.
1. Кінці стрижня вільні:
(0, t) (l, t) 0 або			u		(0, t)	u	(l, t) 0 .
(0, t) (l, t) 0 або					(0, t)	x	(l, t) 0 .
			x			x

Шукаємо розв'язок рівняння (4.72) у вигляді

u(x, t) U (x)e i t .

Підставляючи (4.89) в (4.81), отримаємо

2u	( x, t)			2U e i t ;	2u	( x, t) 2U ( x)e
x2				x2	t2
2U		2	U 0 або		2U	2	k
x2		c2	U 0 або		x2	k U 0,	k	c
x2		c2			x2			c

Розв'язок рівняння (4.90) має вид

U(x) Asin kx B cos kx, а

U k Acos kx B sin kx .

Зумови 0, t ux (0, t) 0 маємо А=0.

Зумови l, t ux (l, t) 0 отримаємо

sin kl 0 або kl n , або n	c n	.

	l

i t

(4.89)

(4.90)

(4.91)

(4.92)

(4.93)

	Отже, при вільних кінцях стрижня нормальні частоти знаходяться з
виразу		c n	і створюють гармонічний ряд, а форми коливань визначаються
виразу			і створюють гармонічний ряд, а форми коливань визначаються
	n	l
		l
через	cos kn x cos			n	x	n=1,2, .
через	cos kn x cos				x	n=1,2, .
				c

2.Один кінець стрижня вільний, інший – защемлений:

u(0, t) 0,	u	(l, t) 0.
	x

Із загального розв'язку (4.82), з урахуванням граничних умов

U(x) Asin kx B cos kx,

знаходимо, що В=0, coskl=0, звідки

138

kl	2n 1	, або n	2n 1 c	і sin kn x sin	n x
	2		l		c

3.Обидва кінці стрижня защимлені:

u(0,t) u(l,t) 0.

Виконавши відповідні операції отримаємо

n	n c	і cos kn x cos	n x	,
	l		c

тобто нормальні частоти в першому і третьому випадках збігаються.

4.5.4Пружні хвилі у складному стрижні

Убагатьох практичних випадках вивчення коливальних процесів у одній механічній системі, можна дістати лише з урахуванням її взаємодії з іншими системами. В цьому разі граничні умови повинні бути замінені на умови спряженості між коливальними системами. У загальному випадку такі умови відображають фізичні властивості обох взаємодіючих систем. Характер таких умов і способи їх описання розглянемо на найпростішому прикладі напівнескінченних стрижнів з різних матеріалів (рис 4.30)

1 , E1, c1	0	2 , E2 , c2
Припустимо, що в лівому стрижні ( x 0 ) з нескінченності до перерізу
поширюється хвиля
	u(x,t) (x c1t)

При падінні хвилі на межу розподілу матеріалів x 0 частина хвильової (коливальної) енергії відбивається, а частина пройде у другий стрижень. Необхідно знайти відбиту хвилю і хвилю, що пройшла.

Розглянемо умови спряженості двох стрижнів на поверхні x 0 . Ці умови для будь-яких систем містить у собі кінематичні та силові співвідношення.

В даному випадку складеного стрижня кінематична умова полягає в тому, що в процесі відбиття хвилі на поверхні контакту ( x 0 ) не можуть виникнути розриви хвилі, тобто.

u1 ( 0,t) u2 ( 0,t)

(4.94)

139

де, u1 (x,t) являє собою суму кожної суму падаючої та відбитої хвилі( u ) та відбитої хвиль ( u0 ) хвиль (рис. 4.30) в лівій частині стрижня.

u1 (x,t) u(x,t) u0 (x,t) (x c1t) u0 (x c1t)

аu2 (x,t) - хвиля, що розповсюджується в правій частині стрижня.

Оскільки швидкість поширення збурень у правій частині стрижня дорівнює c2 , зміщення точок стрижня від положення рівноваги u2 є функцією

фази хвилі аргументу, що пройшла (x c2t) .

u2 (x,t) u2 (x c2t)

Друга, силова, умова спряженості складного стрижня відображає вимогу третього закону про рівність дії і протидії на поверхні контакту ( x 0 ):

1 ( 0,t) 2 ( 0,t) 0	(4.95)
Для того щоб співвідношення виконувалися в будь-який момент часу
при заданій функції (x c1t) , функції u0 і u2 при	x 0 мають бути

пропорційними ( c1t) . Ця вимога виконується, якщо показати:

u0 (x c1t) A ( (x c1t)
u		(x c t) B (	c1	(x c t)	(4.96)
u	2	(x c t) B (		(x c t)
	2	2	c2	2
			c2

Тут A і B - довільні сталі, що характеризують ступінь збудження відбитої хвилі, та хвилі, яка пройшла.

Перша умова спряженості (4.94) з урахуванням (4.96), приводить до наступного алгебраїчного рівняння для системи A і B:

1+A=B

(4.97)

Для виконання другої умови спряження (4.95) слід скористатися законом Гука ( E E ux )

E	u1	E	u2	( при x 0 )
	x		x
1		2

При цьому для деформації ( ) матимемо такі вирази:

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016393.9 Кб8ASSUD_Orda_4ASU-A.docx
#
23.11.2019349.7 Кб5ASS_1nn.doc
#
17.03.20161.07 Mб6atp_shemu_1354515770.pdf
#
21.11.2018404.48 Кб2attachment.doc
#
15.04.2019617.47 Кб1attachment.doc
#
12.05.20153.12 Mб13attachment.pdf
#
15.04.2019250.88 Кб1attachment1.doc
#
12.05.20152.01 Mб69AutoCAD.pdf
#
17.03.20161.97 Mб31A_S_Makarenko_Pedagogicheskaya_poema МАКАРЕНКО ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПОЭМА.pdf
#
17.03.20161.59 Mб22b.pdf
#
17.03.2016146.43 Кб6bakalavr_diploma2012.doc