attachment

Це окремий випадок більш загальної теореми Пуансон, яку ми будемо розглядати, вивчаючи обертання твердого тіла навколо нерухомої точки.

Нарешті, слід відмітити, що плоскопаралельний рух розглядали як окремий випадок руху вільного твердого тіла.

1.2.9. План швидкостей

Розглянемо графічний метод визначення швидкостей різних точок плоскої фігури. Це метод побудови плану швидкостей.

План швидкостей – це графічне зображення векторів швидкостей точок плоскої фігури в даний момент часу.

Для побудови плану швидкостей треба знати величину і напрям швидкості однієї точки, а також напрям швидкості якої-небудь іншої точки плоскої фігури.

Визначимо швидкості всіх точок фігури S (рис.1.29), якщо відомі вектор

BC

31

BC

перетину ac і вc є точка С – кінець вектора . З’днаємо точку С з точкою О.

Тепер легко знайти швидкість будь-якої точки плоскої фігури. Наприклад, щоб знайти швидкість точки М, яка знаходиться на прямій АВ (див. рис. 1.29) визначимо

відповідну їй точку m на плані швидкостей, з’єднаємо цю точку з полюсом O ( Om - швидкість точки М).

1.2.10. Розподіл прискорень при плоскопаралельному русі твердого тіла

Прискорення довільної точки тіла при плоскопаралельному русі дорівнює

фігури, тому на підставі властивостей подвійного векторного добутку перепишемо

O

32

завжди гострий, бо в противному разі доцентрове прискорення було б напрямлене від полюса, що неможливо. Величину цього кута знайдемо з формули

можна знайти таку точку плоскої фігури, вектор прискорення якої в даний момент часу дорівнює нулеві. Ця точка називається миттєвим центром прискорення (МЦП). Якщо полюсом обрати миттьовий центр прискорень, то прискорення кожної точки плоскої фігури можна розглядати як прискорення обертального руху навколо миттьового центру

прискорень.

Вектор прискорення WМ довільної точки М утворює визначений за (1.67) кут з

прямою, що з'єднує точку з миттєвим центром прискорень.

Розглянемо два випадки побудови миттєвого центра прискорень.

33

утворює з вектором WА кут . На цій прямій лежить миттьовий центр прискорень, якщо

він існує. Щоб знайти його положення на прямій AQ, обчислимо за (1.68) відстань QA від полюса А до МЦП. Відкладаючи від А обчислений відрізок QA, знаходимо миттьовий центр прискорень.

фігури (рис.1.34). Щоб знайти миттєвий центр прискорень Q, визначимо кут , який, як було зазначено, не залежить від вибору полюсу. Візьмемо точку А за полюс. На підставі

Точка Q перетину цих прямих – миттєвий центр прискорень.

Знаючи положення миттєвого центра прискорень та прискорення однієї точки плоскої фігури, можна побудувати напрями і знайти величини прискорень довільних її точок. Наприклад, прискорення точки С знаходимо, з'єднавши точку С з точкою Q і

переходу від WA до АQ. скориставшись виразом (1.68), обчислимо модуль вектора WС . Зауважимо що вираз (1.68) дає змогу встановити зв'язок між прискореннями всіх

Отже, побудова миттєвого центра прискорень дає змогу повністю вирішити питання про розподіл прискорень при плоскопаралельному русі твердого тіла в певний момент часу.

34

швидкості його точок. Точка В спільна для шатуна і рухомого колеса. Тому необхідно розглянути спочатку розподіл швидкостей у рухомому колесі. Точка Р зчеплення

рухомого і нерухомого коліс є миттєвий центр швидкостей рухомого колеса. Отже,

A B

AP BP

Швидкість точки А легко знайти, розглядаючи обертальний рух кривошипа ОА

A O OA O (r1 r2 ) 0,5 30 15 мс .

Таким чином,

Цей самий результат можна дістати, якщо скористатися теоремою про проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що з’єднує ці точки.

Маємо

( A )AB ( B )AB .

Для визначення швидкості точки С і кутової швидкості шатуна побудуємо миттєвий центр швидкостей шатуна ВС. Він знаходиться в точці К перетину прямих ВК і СК , перпендикулярних до векторів швидкостей точок В і С. На підставі (1.63)

B C BC .

BK CK

Звідси

C BCK BK

35

Елементарні геометричні розрахунки дають змогу визначити: СК=120 см,

ВК=100 2 см. Тоді

C 152 120 18см с 100 2

BC CKVC 12018 0.15 1c .

2.Розглянемо застосування теореми про розподіл прискорень у тілі при плоскопаралельному русі.

Прискорення точки А дорівнює тільки нормальному прискоренню 2 02 r і напрямлене

від точки А до центра обертання кривошипа ОА.

WA 2 O2 r .

Щоб знайти прискорення WAN , згадаємо, що

W AN W обAN W доцAN

WобAN AN ; WдоцAN 2 AN

Тут і і - миттєва кутова швидкість і миттєве кутове прискорення, які треба визначити

З умови кочення без ковзання випливає, що швидкість точки М колеса II дорівнює нулеві, тобто точка М є миттєвий центр швидкостей. Тоді миттєва кутова швидкість

імиттєве кутове прискорення

d 0 . dt

Отже,

36

r

r

2

рис.1.39

37

Розділ 2. Кінетика

Кінетика є частиною теоретичної механіки, що вивчає найбільш загальні властивості механічних рухів і одночасно геометричні властивості рухів і властивості фізичних факторів , які змінюють ці рухи.

В основі кінетики лежать просторово-часові уявлення класичної механіки, закони Ньютона і система аксіом механіки.

Кінетика включає в себе два підрозділи: динаміку і статику.

2.1. Динаміка

Динаміка - це розділ теоретичної механіки, що вивчає механічний рух матеріальної точки, системи матеріальних точок і абсолютно твердого тіла з урахуванням сил, що діють на ці рухомі об'єкти.

У динаміці синтезуються й узагальнюються положення статики і кінематики, а також встановлюються найбільш загальні закони механічного руху. При цьому враховується взаємодія між тілами, мірою якої є сила.

Сила - це міра взаємодії між тілами, яка має напрямок, величину і точку прикладання.

Динаміка ставить перед собою дві основні задачі. Перша (пряма задача динаміки) полягає в тому, що за заданими механічним рухом і масою тіла визначають сили, під дією яких цей рух здійснюється. Друга (обернена задача динаміки) полягає у тому, що за даними силами, прикладеними до тіла, його масою і початковими умовами визначають рух, який вони спричиняють.

2.1.1. Простір і час за Ньютоном. Закони Ньютона

За Ньютоном, простір, в якому здійснюється механічний рух, нерухомий і його властивості не пов’язані із рухом тіла. Властивості простору описуються системою аксіом і теорем геометрії Евкліда.

Висловлюючи твердження про нерухомість простору, Ньютон вважав, що існує абсолютно нерухома, так звана геліоцентрична система координат, початок якої знаходиться у центрі Сонця, а три осі направлені до трьох “нерухомих“ зірок.

Характерною ознакою означення простору за Ньютоном є відірваність властивостей простору від матерії. Ньютон стверджував, що час по своїй суті тече не зупиняючись, рівномірно і однаково в усіх частинах всесвіту. Зміна часу не пов’язана із рухом тіла.

Незважаючи на неточність просторово-часових уявлень, закони Ньютона, що узагальнюють великий дослідний матеріал і спостереження за різними явищами природи, виявилися настільки точні, що і в теперішній час вони є основою розв'язання більшості технічних задач. Відхилення від законів Ньютона трапляються, якщо тіла рухаються поблизу великих скупчень матерії, наприклад, поблизу Сонця. В умовах Землі основою для розрахунків є закони

38

Ньютона. У якості нерухомої системи координат приймають систему, пов’язану із Землею.

Системи координат, у яких справджуються закони Ньютона, називаються інерціальними. Інерціальними (галілеєвськими) є системи координат, що рухаються поступально, прямолінійно і рівномірно відносно "нерухомих" зірок. Сформулюємо закони Ньютона.

Перший закон Ньютона (закон інерції).

Ізольована матеріальна точка зберігає стан рівномірного і прямолінійного руху або знаходиться у стані спокою відносно системи координат, яка рухається поступово, рівномірно і прямолінійно доти, доки вплив інших тіл не виведе її з цього стану.

Ізольованою називається матеріальна точка, взаємодією якої з навколишніми тілами можна знехтувати. Властивість ізольованої матеріальної точки зберігати стан рівномірного прямолінійного руху називається інертністю.

Закон інерції містить два основних твердження .

1.Згідно із першим законом Ньютона, матеріальній точці притаманний стан руху. Отже, у законі інерції вперше стверджується, що рух є основною первісною властивістю речовини. До XVII ст. у науці домінували погляди Аристотеля, згідно з якими основною властивістю речовини приймався стан спокою. Тому твердження Ньютона створило переворот у науці, а подальший технічний прогрес підтвердив його правильність.

2.З нього випливає, що спонтанна зміна руху матеріальної точки неможлива, а здійснюється лише внаслідок її взаємодії з іншими тілами.

У першому законі Ньютона розглядається прямолінійний рух точки за інерцією. Такий рух можна спостерігати або у лабораторних умовах, або уявивши частинку метеорного пилу, що рухається у міжгалактичному просторі. Більшість матеріальних точок і тіл, за рухами яких спостерігають на Землі, не рухаються рівномірно і прямолінійно. Це трапляється тому, що на них не діють

механічні сили .

Механічна сила – це міра механічного впливу на матеріальну точку з боку оточуючих її точок або тіл. Механічна сила характеризується своєю величиною і напрямом у просторі. Тому її можна представити у вигляді вектора (рис.2.1). Механічна сила – причина, відхиляюча рух точки від рівномірного і прямолінійного.

39