attachment

21

Цю формулу називають формулою Ейлера.

Вибравши осі координат, як показано на рис.1.16, знайдемо формули для проекцій лінійної швидкості на ці осі:

x y z z y ,

y z x x z ,

z x y y x .

Поняття вектора кутової швидкості і формулу Ейлера дістали, розглядаючи найпростіший обертальний рух тіла – обертання навколо нерухомої осі. Здобуті

висновки буде поширено на більш загальні випадки руху твердого тіла.

Розглянемо вектор кутового прискорення . Кутове прискорення – це вектор, що характеризує бистроту зміни вектора кутової швидкості в часі. Тому

22

1.2.5. Рух вільного твердого тіла. Розподіл лінійних швидкостей і прискорень у вільному твердому тілі

Основна ознака абсолютно твердого тіла – незмінність відстаней між довільними точками такого тіла. Звідси випливає властивість збереження кута між двома довільними прямими, проведеними в абсолютно твердому тілі. Як буде показано далі, цих властивостей досить для визначення основного закону розподілу швидкостей і прискорень у вільному твердому тілі.

Підставляючи (d) в (е) , маємо

23

На підставі (1.50) і (1.51) можна зробити висновок:

Рух вільного твердого тіла можна розкласти на два рухи: поступальний, що визначається рухом довільної фіксованої точки тіла, яку називають полюсом, і

обертальний рух навколо осі, що проходить через полюс. Цю вісь називають миттєвою

віссю обертання, а - миттєвою кутовою швидкістю.

З рівності (1.48), як наслідок, випливає важлива теорема.

Теорема. Проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що поєднує ці точки, рівні між собою.

24

де C1 і C2 - сталі інтегрування, що знаходяться з початкових умов.

25

3. Тіло обертається навколо нерухомої осі згідно з законом t 2 . Визначити

швидкість точки тіла на відстані r 0,5 м від осі обертання в момент, коли25 рад.

Відповідь: 5 мс .

4.Закон обертального руху тіла 1 4t . Визначити прискорення точки тіла на відстані r 0,2 м від осі обертання.

5.Кутова швидкість колеса I змінюється за законом 1 t 2 . Визначити

прискорення тягаря 3 в момент часу t 2 с. Якщо радіуси R1 1м, R2 0,8 м і r2 0,4 м (рис.1.20).

Відповідь: 2 t мс2 .

1.2.6.Плоскопаралельний рух твердого тіла. Рівняння руху

26

Плоскопаралельним називають такий рух твердого тіла, під час якого всі точки тіла рухаються паралельно певній нерухомій площині, яку називають основною.

Багато механізмів, які зустрічаються в практиці, належать до так званих плоских механізмів. Тому вивчення плоскопаралельного руху тіла має істотне практичне значення.

Плоскопаралельний рух можна розглядати як окремий випадок руху вільного твердого тіла.

Покажемо, що з означення плоскопаралельного руху випливає можливість звести задачу вивчення руху тіла в просторі до задачі вивчення руху плоскої фігури в площині.

Теорема. Будь-яке переміщення плоскої фігури в її площині може бути здійснено поступальним переміщенням разом з вибраним полюсом і обертальним рухом навколо вибраного полюса.

Тіло перебуває в плоскопаралельному русі (рис.1.21), площина xOy - основна.

рис. 1.21 рис. 1.22

Зробимо перетин тіла площиною, паралельною основній. Розглянемо рух прямої

AB - поступальний. Отже, рух довільної точки A цієї прямої визначає цей поступальний рух. Якщо повторити ці міркування для будь-якої точки плоскої фігури

S , то можна твердити, що рух тіла повністю визначається рухом цієї фігури S . Складемо рівняння руху плоскої фігури. Виберемо дві системи координат:

нерухому Oxy і незмінно зв’язану з плоскою фігурою O . Положення системи координат O повністю визначає положення плоскої фігури (рис.1.22). Якщо кожному моментові часу t поставити у відповідність значення величин x0 , y0 , , то дістанемо рівняння, які є законом руху плоскої фігури:

Ці рівності – кінематичні рівняння плоскопаралельного руху твердого тіла.

Структура рівнянь показує, що рух плоскої фігури можна розглядати як складний: поступальний разом з полюсом O (рівняння (1.55), (1.56)) і обертальний

навколо полюса O (рівняння (1.57)). Якщо перенести полюс із точки O в іншу точку, рівняння (1.57) не зміниться, зміняться лише рівняння (1.55) і (1.56). З цих міркувань можна зробити висновок: при плоскопаралельному русі твердого тіла характеристики

обертального руху ( кут повороту , кутова швидкість , кутове прискорення

) не залежать від вибору полюса.

27

Розглядаючи плоскопаралельний рух як окремий випадок руху вільного твердого тіла, можна зобразити і у вигляді векторів, перпендикулярних до площини руху тіла.

Цей вираз є законом розподілу швидкостей у тілі при плоскопаралельному русі.

1.2.8. Миттєвий центр швидкостей та способи його знаходження.

центром швидкостей (МЦШ).

Отже, МЦШ – називається точка плоскої фігури швидкість якої дорівнює нулю в даний момент часу.

Якщо полюс вибрати в миттєвому центрі швидкостей, то на підставі (1.60)

28

Установленими формулами широко користуються при розв’язуванні задач, у яких треба визначити швидкості точок тіла при плоскопаралельному русі (наприклад, точки

D

3. Існує ще кілька окремих випадків визначення миттєвого центра швидкостей:

а) швидкості двох точок тіла паралельні, нерівні і мають один напрям (рис.1.26,а); б) швидкості двох точок тіла паралельні, нерівні і мають різні напрями

(рис.1.26,б);

в) швидкості двох точок тіла паралельні, рівні, напрямлені в один бік (рис.1.27).

У цьому разі миттєва кутова швидкість 0 і тіло в цей момент часу виконує миттєвий поступальний рух;

г) у деяких випадках можна знайти положення миттєвого центра швидкостей з умови кочення без ковзання: миттєвий центр знаходиться в точці дотику тіла з нерухомою поверхнею (рис.1.28).