attachment

u1 (x u0 (x c1t) A ( (x c1t)

B c1 ( c1 (x c2t)) c2 c2

Штрих у знака функції вказує на похідну по її головному аргументу. Тоді силова умова спряженості (при x 0 ), зводиться до такої

алгебраїчної рівності.

відрізнятися від лівої як густиною так і швидкістю звуку, але хвильові опори частин стрижня однакові, то відбита хвиля відсутня(А=0). Це означає, що хвиля не помічає різниці у властивостях матеріалів, коли їх хвильові опори збігаються.

Аналіз виразу (4.98) для коефіцієнта відбиття А дозволяє виділити два крайніх випадки, що відповідають розглянутим граничним умовам (4.94) і (4.95). Якщо хвильові опори такі що 2ñ2 1ñ1 , матимемо A 1 . Хвиля що

падає повністю відбивається при цьому напруги на межі прагнуть до нуля(вільний кінець). Якщо 2ñ2 1ñ1 то A 1 . У цьому разі хвиля, що

падає, також повністю відбивається, проте зміщення на межі поділу стає рівним нулю(жорстко защемлений кінець).

Проведення аналізу примушує звернути увагу на деяку незвичайність розглянутих граничних випадків. Якщо 2ñ2 1ñ1 , то A 1 . Проте тоді

B 2 , тобто зміщення (4.100) хвилі, що пройшла, у два рази перевищує зміщення у хвилі, що падає. Ця обставина примушує більш чітко визначатися зі змістом висловлювання падаюча хвиля повністю відбивається. Це тим більш важливо, оскільки має парадокс і другий розглянутий граничний випадок ,

141

2ñ2 1ñ1 . Якщо при цьому при прийняти, що B 2 1ñ1 , то із

2ñ2

співвідношення ( 4.95), що відображає умови рівності напруг на поверхні контакту стрижнів ( x 0 ), знаходимо:

2 (0,t) E2 c1 Â ( c1t) 2E1 ( c1t) c2

Тобто напруги у хвилі, що пройшла, у два рази перевищують напруги в падаючій хвилі.

У цілому одержаний результат дозволяє сформулювати загальний висновок при переході хвилі із більш жорсткого середовища у більш м’яке ( 2ñ2 1ñ1 ) зростають зміщення( а, відповідно і швидкості) частинок

середовища.

При переході хвилі з м’якого середовища у більш жорстке( 2ñ2 1ñ1 )

напруги у хвилі, що пройшла, зростають. Встановленню, що гранична величина коефіцієнтів. Збільшення вказаних характеристик хвиль дорівнює двом.

142

зовнішні сили - q(x, y,t) dx dy , одержимо наступне диференціальне рівняння елемента мембрани

декартових координатах. Цей вираз носить назву оператора Лапласа. Тоді диференціальне рівняння руху елемента мембрани має вид

145

задовольняє хвильове рівняння. Такий вираз являє собою хвилю, яка поширюється зі швидкістю c у напрямі, що складає кут з віссю x . Хвильові фронти, що являють собою лінії постійної фази, x cos y sin ct const ,

перпендикулярні цьому напряму. Такі хвилі називаються лінійними хвилями. Оскільки хвильове рівняння – лінійне, то сума будь-якого числа його розв’язків також є розв’язком. При цьому певні комбінації хвильових рухів типу (1.5) можуть спричинити набагато складніші хвилі. Так, виходячи з останнього розв’язку (1.5), можна побудувати вираз

який також задовольняє хвильове рівняння. Проте такий розв’язок вже не є лінійною хвилею.

5.1. Вільні коливання прямокутної мембрани

2 w 2 w 2 w ,

x2 y2 c2

146

або

де k c .

Описане рівняння носить назву рівняння Гельмгольца. Будемо шукати його розв’язок у вигляді добутку двох функцій, кожна х яких залежить від однієї координати

де – деяка стала величина

Аналізуючи (2.5), можна зробити висновок, що розв’язок рівняння Гельмгольца у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної, існує, причому ці функції однозначно визначаються із наступних диференціальних рівнянь:

147

148

Таким чином, коливання прямокутної мембрани можуть бути описані функцією

Проаналізуємо отримані результати. Розглянемо найпростіше коливання, що відповідає випадку n m 1 ( n m 0 фізичного змісту не має):

називаються точками спучування. Лінії, точки яких не коливаються, називаються вузловими лініями. Для нормального коливання W11 (x, y,t) вузлові лінії збігаються з контуром мембрани (рис. 2.2а).

у різні боки і, відповідно, буде дві точки спучування. Це точки перетину прямої

149

Представимо на рис. 2.2в і рис. 2.2г , відповідно, нормальні коливання

W12 (x, y,t) і W22 (x, y,t) .

Звернемо увагу на одну важливу особливість коливання мембрани. При коливаннях струни кожній нормальній частоті відповідала одна власна форма коливань, яка цілком визначала форму струни. При коливаннях мембрани одній нормальній частоті може відповідати кілька власних форм. Такі ситуації виникають, коли відношення сторін мембрани дорівнює цілим числам. Наприклад, lx 2ly , тоді

слід пам’ятати при розв’язанні інженерної задачі експериментального визначення власних форм коливань.

150