attachment

центром мас, або центром інерції матеріальної системи. За іншим визначенням, центр мас - це центр паралельних сил, що надають рух точкам системи з однаковим прискоренням або поступальний рух незмінній системі.

Рух системи матеріальних точок відносно осей координат, які рухаються поступально разом з центром мас, називається рухом відносно центра мас.

Сума мас окремих точок системи називається масою системи

i 1

Рівність (с) при виборі початку рухомої системи координат у центрі мас можна записати так :

i 1

Рівність (2.30) виражає теорему Кеніга: кінетична енергія системи матеріальних точок рівна кінетичній енергії поступального руху системи разом з її центром мас, що складена з кінетичною енергією системи відносно центра мас.

Теорема Кеніга підтверджує, що основні властивості системи містяться у виразі її кінетичної енергії.

Із поняттям про центр мас зв’язано поняття про кількість руху системи. Із рівностей (2.28) і (2.29) випливає:

i 1

Кількість руху системи матеріальних точок рівна векторній сумі кількостей руху всіх точок системи . Із (2.31) видно, що кількість руху системи можна підрахувати як добуток маси системи на швидкість її центра мас.

В залежності від способу руху матеріальної системи різняться і вирази

61

рис.2.22

3. При плоско-паралельному русі.

2.1.7. Основні властивості довільної системи сил, які діють на абсолютно тверде тіло

Елементарна робота сил, які діють на абсолютно тверде тіло

Щоб практично використовувати теорему про зміну кінетичної енергії, потрібно вміти обчислювати роботу сил, прикладених до абсолютно твердого тіла. Розглянемо тверде тіло, на яке діє система п сил (рис.2.24). Знайдемо суму елементарних робіт, які виконують сили на елементарних переміщеннях. Елементарна робота і-ї сили дорівнює

62

Оберемо в тілі полюс – точку О. З нерухомої точки O', розташованої поза

через точку О та змінює своє положення в просторі з часом. Прийнявши це

З аналітичної геометрії відомо, що скалярно-векторний добуток рівний об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах-множниках. В паралелепіпеді будь-яку грань можна розглядати, як основу, тому в скалярно-векторному добутку можна змінювати множники за правилом циклічної перестановки. Другий доданок в (h) можна переписати

Щоб знайти повну роботу, що виконують сили, які діють на абсолютно тверде тіло, треба просумувати роботи, виконані кожною силою:

63

Векторна сума сил, діючих на абсолютно тверде тіло, називається головним вектором системи сил

i 1

називається головним моментом сил відносно точки О. Точка О є центром моментів.

Рівність (2.35) виражає теорему про роботу сил, які діють на абсолютно тверде тіло: елементарна робота довільної системи сил, прикладених до абсолютно твердого тіла, дорівнює сумі двох доданків – елементарній роботі, що виконується головним вектором системи сил на поступальному переміщенні тіла разом с полюсом, складеній з елементарною роботою, що виконується головним моментом системи сил на обертальному переміщенні тіла навколо полюса.

Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної системи. Приріст кінетичної енергії системи матеріальних точок за деякий проміжок часу дорівнює сумі робіт зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на точки системи протягом того ж проміжку часу. Доведемо цю теорему.

За теоремою про зміну кінетичної енергії для і-ої точки матеріальної системи

маємо

Виходячи з означення кінетичної енергії системи маємо:

64

2.2. Статика

Статикою називається розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються способи перетворення систем сил в інші, що еквівалентні їм, а також умови рівноваги різних систем сил, які діють на абсолютно тверде тіло.

Одним з основних понять статики є сила.

Сила - це міра взаємодії між тілами, яка має напрямок, величину і точку прикладання.

2.2.1.Еквівалентні системи сил. Елементи статики

Зформули (2.35) видно, що елементарна робота сил, діючих на абсолютно тверде тіло, залежить від головного вектора та головного моменту системи сил. Звідси випливає, що одну й ту ж елементарну роботу на однакових довільних переміщеннях можуть виконувати різні системи сил, при цьому вони викликатимуть однакову механічну дію, надаючи кінетичній енергії тіла однакові прирости.

Дві системи сил називаються еквівалентними, якщо вони виконують однакову елементарну роботу на довільних, але однакових переміщеннях абсолютно твердого тіла.

Покажемо, що еквівалентні системи сил мають однакові головні вектори та головні моменти.

однакові, якщо ці системи еквівалентні.

Розглянемо елементарну роботу, яка виконується системами 1 та 2. За умовою

65

Якщо дві системи еквівалентні, то в них однакові головні вектори та головні моменти.

сили F , називається плечем сили та позначається буквою h. Момент сили дорівнює добутку сили на плече

З (2.37) видно, що проекції головного вектора на осі координат дорівнюють алгебраїчним сумам проекцій прикладених сил.

Проектуючи праву та ліву частини рівності (2.34) на осі координат, знайдемо проекції головного моменту на осі координат:

66

i 1

n

M z (xiYi yi X i ) .

i 1

Якщо відомі проекції вектора на осі координат, то вектор повністю визначений. Модуль головного вектора й головного моменту та їх напрямні косинуси можна визначити за формулами, відомими з аналітичної геометрії.

2.2.3. Умови рівноваги вільного твердого тіла

Система сил, що діють на абсолютно тверде тіло, зрівноважується, якщо елементарна робота, що виконується цією системою сил на довільних переміщеннях твердого тіла, рівна нулю. З теореми про зміну кінетичної енергії тіла випливає, що такі сили не змінюють кінетичну енергію системи.

Систему сил, прикладених до абсолютно твердого тіла, називають зрівноваженою, якщо вона не змінює кінетичну енергію на всіх довільних малих переміщеннях.

Отже, елементарна робота, виконувана зрівноваженою системою сил на всі

Умови (2.40) називають механічними умовами рівноваги вільного твердого тіла:

вільне тверде тіло знаходиться в стані рівноваги, якщо головний вектор та головний момент системи сил відносно деякої точки дорівнюють нулю.

Розглянемо аналітичні умови рівноваги вільного твердого тіла, які витікають з механічних умов рівноваги (2.40). Якщо головний вектор та головний момент системи сил при її рівновазі рівні нулю, то мають бути рівні нулю і їх проекції на осі координат:

67

Умови (2.41) та (2.42) називаються також рівняннями рівноваги вільного твердого тіла, бо з цих рівнянь в статиці визначають невідомі сили. Найбільша кількість рівнянь дорівнює шести. Отже і невідомих має бути не більше шести. Якщо кількість невідомих перевищує шість, то задача називається статично невизначеною і методами теоретичної механіки не може бути вирішена. Для вирішення статично невизначених задач потрібно складати додаткові залежності, які витікають з фізичних властивостей тіл. Такі задачі розглядаються в курсі опору матеріалів.

З аналітичних умов рівноваги, як частковий випадок, можна отримати умови рівноваги системи збіжних сил. Дійсно, якщо лінії дії всіх сил перетинаються в одній точці, то система (2.42) обертається на тотожність та залишаються рівняння (2.41), які виражають умови рівноваги системи збіжних сил, повністю співпадаючи з рівняннями (2.12), розглянутими вище.

2.2.4. Момент сили відносно осі

Розглядаючи систему рівнянь (2.42), прийдемо до поняття про момент сили

відносно осі.

Припустимо, задана декартова система координат Oxyz, сила F , проекції якої на осі координат рівні X, Y, Z, та координати точки прикладання сили x, y, z. Розглянемо фізичний зміст проекції моменту сили на вісь Oz:

З рівності (2.43а) видно, що якщо переміщувати точку прикладання сили паралельно осі Oz, то права частина (2.43а) не зміниться, бо в неї не входить змінна координата z. Якщо ж змінювати положення початку координат на осі Oz, величина Мz

також не зміниться. Тобто, Мz не залежить від розташування центру моментів на осі Oz.

Величина Мz залежить лише від взаємного розташування вектора сили F та всієї осі Oz. Мz та аналогічно величини

називають моментами сили відносно осей Oz, Оx та Oy.

Знайдемо момент сили відносно осі Oz, не звертаючись до аналітичної формули

бо для сили F1 координата z та проекція Z рівні нулю.

68

перпендикулярну осі, і, розглядаючи проекцію як вектор деякої сили, знайти момент цієї

надати тілу обертання за годинниковою стрілкою, то знак моменту сили відносно осі від'ємний.

Розглянемо випадки обертання в нуль моменту сили відносно осі.

1. Момент сили відносно осі рівний нулю, якщо проекція сили на площину,

перпендикулярну осі, рівна нулю, тобто F1 =0 у виразі (2.44).

2. Момент сили відносно осі рівний нулю, якщо лінія дії сили перетинає вісь. Тоді в виразі (2.44) h=0.

Обидва випадки можна об'єднати: момент сили відносно осі рівний нулю, якщо вектор сили та вісь розміщені в одній площині.

Все сказане дозволяє стверджувати, що момент сили відносно осі рівний проекції моменту сили відносно точки на цю вісь (рис.2.27):

Повернемося до розглянутих вище аналітичних умов рівноваги вільного твердого тіла (2.41) та (2.42) та сформулюємо їх: вільне тверде тіло знаходиться в рівновазі, якщо виконуються шість аналітичних умов рівноваги (алгебраїчні суми проекцій сил на три координатні вісі мають дорівнювати нулю та алгебраїчні суми моментів сил відносно тих самих осей мають бути рівні нулю).

69