attachment

RА направлена перпендикулярно до його опорної площини.

4. В'язь здійснюється невагомою нерозтяжною ниткою (або

аналогічними гнучкими тілами: мотузка, шнур, трос, ланцюг). Вказані тіла, як

в'язі можуть знаходитись тільки в умовах розтягнення. Реакція таких в'язей ТА

( ТВ ) направлена вздовж лінії в'язей АС(СВ) від точки закріплення тіла G.

5. В'язь здійснюється жорсткими стрижнями, на кінцях яких знаходяться

точкові шарніри (тобто їх розмірами можна знехтувати). Якщо силами тертя в

шарнірах та вагою стрижнів можна знехтувати, то реакція такої в'язі RA ( RB ,

RC ) направлена вздовж прямої, яка з'єднує кінцеві шарніри: від вузла А (В, С), якщо стрижень стиснений, до вузла А (В, С), якщо він розтягнутий.

6. В'язь здійснюється по шорсткій поверхні. Реакція такої в'язі заздалегідь невідома за напрямком, тому її розкладають на дві складові:

сферична поверхня контакту є ідеально гладкою, то реакція такої в'язі проходить через центр шарніра А, а її напрямок може бути будь-яким та визначається з відповідних рівнянь рівноваги тіла G (аналогічно маємо у випадку підп'ятника). Відповідні реакції в'язей зображуються у вигляді

RA = RAx + RAy + RAz = RAxi+ RAy j+ RAzk .

8. В'язь здійснюється нерухомим шарніром А. Якщо знехтувати тертям в шарнірі, то реакція в'язі буде проходити через вісь шарніра, а її напрямок може бути будь-яким в площині, перпендикулярній до осі опори. Тому реакція цієї

51

в'язі зображується у вигляді двох складових по координатним осям, які лежать в

даній площині, тобто RA = RAx + RAy = RAxi+ RAy j .

9. В'язь здійснюється у формі затиснення одного тіла в іншому. Така в'язь заважає не тільки лінійним переміщенням тіла G, а й повороту його навколо точки закріплення А,

52

Внутрішніми називаються сили взаємодії між матеріальними точками

Реакціями в'язей називають сили, з якими в'язі діють на систему матеріальних точок. Вони є невідомими і в загальному випадку залежать від

Енергією називають фізичну величину, яка є скалярною мірою руху матерії при переході однієї форми руху в іншу.

Кінетична енергія – скалярна міра механічного руху в нерухомій системі координат, що дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості

T mV 2 .

2

Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки

Приріст кінетичної енергії матеріальної точки на деякому відрізку траєкторії дорівнює роботі рівнодійної сил, що діють на матеріальну точку на тому ж відрізку траєкторії.

Доведемо це твердження.

прикладені до точки. " ' "- означає, що елементарна робота не завжди є повним диференціалом скалярної функції заданої від координат цієї точки.

Робота - фізична величина, яка характеризує дію сили на переміщення точки її прикладання.

Отже, маємо dT d A - теорема про зміну кінетичної енергії точки в

диференціальній формі.

Проінтегруємо останній вираз:

54

рівнодійної сил, прикладених до м.т. на відрізку траєкторії М1М2.

Теорема про роботу рівнодійної

Елементарна робота рівнодійної сил, що прикладені до матеріальної точки дорівнює алгебраїчній сумі елементарних робіт складових сил.

Доведення. Нехай маємо матеріальну точку, до якої прикладені сили

M1

3.Розглянемо обчислення роботи при натуральному способі завдання руху точки. Положення точки на заданій траєкторії визначається у кожен

момент часу її дуговою координатою s; до точки прикладена сила F (рис. 2.17).

55

Знайдемо вираз для елементарної роботи:

координатний спосіб обчислення роботи. Направимо вісь Oz вертикально вниз, а осі Ox і Oy розташуємо у горизонтальній площині.

Тоді X = Y = 0 ; Z = mg . (i)

Підставивши (i) у формулу (2.18) , отримаємо

56

що співпадає з напрямом сили тяжіння P , від’ємний – тому випадку, коли

вертикальні переміщення і сила тяжіння P направлені в протилежні сторони. Із формули (2.21) видно, що робота сили тяжіння залежить не від форми

траєкторії точки, а тільки від переміщення точки по вертикалі .

2. Виведемо формулу для роботи, що створюється центральною силою.

Центральною називається сила, лінія дії якої постійно проходить через деяку фіксовану точку – центр притягання або відштовхування.

Величина центральної сили пропорційна відстані точки до центру притягання або відштовхування. Як приклад центральної сили можна привести сили всесвітнього тяжіння, кулонівські сили притягання або відштовхування, сили пружності та ін.

Припустимо, що матеріальна точка M рухається під дією центральної сили (рис.2.19).

вектора e . Fr <0 для сили притягання, Fr >0 для сили відштовхування. Підставивши (k) у (g), отримаємо

57

формулу для отримання елементарної роботи , що здійснюється центральною силою :

де r1 і r2 – початкова і кінцева відстань точки М до центра притягання або

відштовхування .

Як видно із (2.23), результат інтегрування не залежить від того, вздовж якої прямої рухається точка. Отже, робота, що здійснюється центральною силою, залежить не від форми траєкторії точки, а від її початкового і кінцевого положення.

3. Застосуємо формулу (2.23) для обчислення роботи, що здійснюється

2.1.6. Кінетична енергія системи матеріальних точок

Теорема про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок

58

Кінетичною енергією системи матеріальних точок називається сума кінетичних енергій точок , що створюють систему :

надзвичайно малий і швидкості всіх його точок наближено однакові.

Щоб знайти точне значення кінетичної енергії неперервного середовища, збільшимо число елементів n до нескінченності, стягуючи кожний в точку. Після граничного переходу отримаємо

Розповсюдимо теорему про зміну кінетичної енергії на систему матеріальних точок: зміна кінетичної енергії системи матеріальних точок за деякий проміжок часу дорівнює роботі, що створюється силами, що діють на точки системи за той же проміжок часу.

Розглянемо систему, що складається із n дискретних точок із масами m1 , m2 ,..., mn . У кожній точці системи можна застосувати теорему про зміну кінетичної енергії. Для і-тої точки системи можна записати:

де T1 і T2 – кінетична енергія системи у початковий і кінцевий моменти часу.

Рівність (2.27) виражає теорему про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок .

Щоб застосувати теорему до розв'язання задач, потрібно вміти обчислювати кінетичну енергію систем твердих тіл для різних випадків їх рухів.

59

Центр мас, кількість руху системи матеріальних точок

Надамо формулам (2.25) і (2.26) вигляд, більш зручний для практичного застосування при розв'язанні задач.

Розглянемо рух точок системи відносно нерухомого центра O як складний, що складається із поступального руху разом із рухомими осями O і руху відносно цих осей (рис.2.21). Тоді на основі теореми про складання швидкостей абсолютна швидкість i–тої точки системи рівна

При раціональному виборі точки О – початку рухомої системи координат O вираз (с) можна спростити, виключивши із нього третій доданок.

Визначимо початок рухомої системи координат, прирівнявши до нуля суму, що стоїть у правій частині рівності (е):

Звідки

60