attachment

Отже, з точки зору математики, кінематичне та силове збурення є

анологічними.

Введемо поняття коефіцієнта динамічності системи ( ).

x (t)

F

2 2 p

k

0

x(t)

mП

(t)

p2 2 p 2 .

0

0

При гармонічному сигналі

p i , отже

2 i2

04 4 2 2

0

;

.

2

2

0

2

2

0

i2

2

2

2

Якщо z

;

,

тоді

1 4 2 z2

;

0

0

1 z2

2

4 2 z2

Очевидно, що ефективною умовою

А( )

віброзахисту і віброізоляції є 1 ,

3

2

2 4 2 z2

Аст

1

або

1 z2

1 4 2 z2

;

1 2 3

1 z2 1 ; z 2

0

0

2

-

умова

ефективного

0

виконання

віброізоляції

та

вібро-

рис. 4.15

захисту.

Отже, для того, щоб розв'язати задачу віброізоляції або віброзахисту,

незалежно від того, яке збурення коливань є (силове чи кінематичне),

параметри системи мають бути вибрані так, щоб частота власних коливань

була набагато меншою за частоту збурення. Дія вібрації на тіло або

фундамент зменшиться, якщо частота ω вібрації більше в

2 разів частоти

ω0 вільних коливань тіла.

Причому, якщо 0

2 ,

то чим менше демпфірування в системі, тим

ефект віброзахисту або віброізоляції більший (рис.4.15).

x2

d

T

T

П ; (j=1,2).

m2

dt

qj

qj

qj

N=2 і q1 x1 , а q2 x2 , де

Ступінь вільності системи

c2

x1– абсолютна координата руху маси т1;

x1

x2 – абсолютна координата руху маси т2.

Отже, маємо систему рівнянь

m1

1)

d

T

T

П

;

dt x

x

x

c1

1

1

1

2)

d

T

T

П .

dt x

x

x

2

2

2

рис. 4.16

Запишемо

вирази

для

кінетичної

та

потенціальної

енергій системи та знайдемо похідні необхідні для

складання рівнянь руху:

T

m x

2

; П

C x 2

; T

m x

2

C2

x2

x1

2

1 1

1 1

2 2

; П

2

;

1

2

1

2

2

2

2

T T T

m x 2

m x

2

1 1

2 2

;

1

2

2

2

T m x

;

T

m x

;

T

0 ;

T

0 ;

x1

1

1

x2

2

2

x1

x2

П П П

C x

2

C2

x2 x1 2

1

1

;

2

1

2

2

П

C1x1

C2

2

x2 x1 C1x1 C2 x2 x1 ;

x

2

1

П

C2

2

x2 x1 C2 x2 x1 .

x

2

2

Отримаємо систему рівнянь:

m x C x C

x x

m x C x C

x x

0

1 1

1 1

2

2

1

або

1 1

1 1

2

2

1

.

x2

x1

,

m2 x2

C2

m2 x2 C2 x2 x1

0

x

C1

C2

x

C2

x

0

1

m1

1

m1

2

.

C2

C2

x

x

x 0

2

m

2

m

1

2

2

C1

2 ;

C2

2

;

C2m2

2 ;

m2

,

m1

01

02

m1m2

02

m1

m2

де ω01, ω02 – парціальні частоти – частоти таких коливань системи, коли

коливання за кожною з координат є незалежними (незв'язаними).

2

2

2

01

02 x1 02 x2 0

Звідси

x1

x

2 x

2 x 0

2

02

2

02

1

Введемо оператор -

p

d

, тоді

dt

p2

012 022 x1 022 x2 0;

(*)

2 x

p2 2

x 0;

02

1

02

2

Для гармонічних процесів

p i , тобто

2

012

022 x1 022 x2 0

(4.14)

2 x 2 2 x 0

02

02

21

2 2

012 022

2 022 024 0 .

Розкриваючи цей визначник, отримаємо рівняння частот, або, як його

ще називають, вінове рівняння.

2

4 2 2

2

01

2

2

02

4

4 0

01

02

02

02

02

4 2 012 02 2 02 2

012 02 2 0

2 2

2

2 2 2 0

01

02

01

02

01

02

2

2

2 0

01

02

(2

) 4

4

2

2

02

02

02

01

02

2

4

2

02

2

4

0

02

01

02

2

01

Із графіка Δ(ω2) випливає (рис.4.17), що

02

обидва корені ω12 і ω22

характеристичного

012

2

2

рівняння Δ(ω2)=0 додатні дійсні числа. Цей

02

графік ілюструє теорему

Релея про частоти

1

2

2

2

власних коливань системи.

x

x

(1)

x (2) ;

x

x (1)

x

(2)

,

1

1

1

2

2

2

або x1 A1 cos(1t 1 ) B1 cos(2t 2 )

x2 A2 cos( 1t 1 ) B2 cos( 2t 2 )

Знайдемо відношення

x2

з системи рівнянь (4.14):

x1

x

2

-ω2 + ω012 +ω022 μ

=

x

2

=

;

2

02

;

x

ω

2

μ

1

x

2 2

2

1

02

1

02

x

1 A cos( t

);

x 2 A cos( t

)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

.

1 B cos( t

x 2 B

cos( t

x

2

);

2

2

)

2

1

2

2

1

2

Ці коливання ( x

1

i x 2

, x

1

i x 2

), що відбуваються відповідно з частотою

1

1

2

2

T

a 2

a

2