Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

attachment

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

								х 2 х 0								x		h0	e	i t		;
														2				h0
																		2
																		2
										xч2 t C2e i t ;
						h						h							2		2 2 i
C					0								0							0							.
C	2		0	2	2		2 i					2 0				2 2 2 i 02 2 2 i											.
	2	2
		2
Замінимо				2		2	C		cos				0		та	2 С							sin	0	, звідки
			0					02					0							02				0
			C			h			e i 0											tg					2
						0												,					0
					2																				0
					2			2		2															0
			2				0				2		2				2								2	2
							0						2

xч2 t C0e i ( t 0 )

xч t xч1 t xч2 t C0 ei t 0						e i t 0
2C0 cos t 0 2C0 cos t ,						бо	0

	xч t			h0 cos t

				2	2 2 2 2
				2	2 2 2 2
				0
mx Rx Cx H			e i t		x 2 x 2 x h e i t
		0				0

(4.11)

(4.12)

В зв'язку з тим, що коефіцієнти рівняння дійсні числа, шукаючи його частинний розв'язок від збурюючої сили у вигляді комплексної функції необхідно спочатку знайти комплексний розв'язок рівняння, а потім для відшукування залежності, що описує рух реальної фізичної системи, виділити тільки його дійсну частину. Фактичне виконання такої операції у задачах акустики часто непотрібно, бо усі необхідні відомості вдається добути безпосередньо з комплексного розв'язку.

Знайдемо частинний розв'язок рівняння символічним методом x(t) xo (t) xч (t)

xч (t) Ce i t

		x	(t) Ci e i t
		ч
		x	(t) C 2e i t
		ч
	C 2e i t 2 Ci e i t C 2e i t							h e i t
								0
		C				h0
		C		2		2	i2
				2		2	i2
			0
	h0e	i t			h0	0	2 2 cos t 2 sin t
x (t)	h0e								.
x (t)						02 2 2			.
ч	02 2 i2					02 2 2		2 2

101

Введемо позначення:

0					з			2		2							2
2	2		a			cos	; aз 0				2	2		2	; tg

			sin														2	2
2 a		з	sin														0
		з
Звідси					х (t)		h0 aз cos t cos aз					sin t sin
Звідси					х (t)		02 2 2 2 2
						ч	02 2 2 2 2

	h0 0			2	2 2		2 2							h cos		t
									cos t						0
									cos t
	02 2 2 2 2												02 2			2 2 2

Частинний розв'язок рівняння (4.12) отриманий символічним методом повністю співпадає з розв'язком рівняння (4.9) методом комплексних амплітуд. Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння (4.8), що описує вимушені коливання в системі з урахуванням сил опору середовища має вид

					(t) e t (a cos
x(t) x (t) x					(t) e t (a cos					2 2 t a sin					2 2 t)
			o	ч			1		0			2			0
							h0 cos t							.			(4.13)
														.			(4.13)
						02 2 2 2 2
В режимі усталених коливань (при t→∞)
останній вираз має вид:
	x Acos t ,
	x Acos t ,											2
де А				h0
														О		о
		2 2			2 2 2
		2 2			2 2 2
	0

Знайдемо закон зміни швидкості													2
Знайдемо закон зміни швидкості
	A sin t ;															рис. 4.9
x	A sin t ;
					x				t
					x		A cos		t		2
											2
A( )					h0			- амплітуда вимушених коливань.

		02		2 2 2 2

Введемо позначення:

z - безрозмірна частота;

- безрозмірний коефіцієнт демпфірування;

102

h0 Aст - статичне зміщення в системі.

Тоді	A(z)	Aст		або A(z)	Aст	.

		1 z2	2 4 2 z2		f (z)

Якщо в деякій точці функція f(z) приймає мінімальне значення, то А(z) має максимум в цій точці. Знайдемо екстремуми f(z).

							2
f (z) 1 z					2			4		2	z	2	;		f	(z) 2 1 z					2	2z 8	2	z 0	;	4z		z	2	1 2	2	0

	1)		z1 0 ;																					А(ω)

	2)			z2	1 2 2							0 ;				z 1 2 2 .							Аmax(ω)								2
																							Аmax(ω)								2
		Беремо						тільки						позитивні						значення				Aст
																								Aст
для z, отже					z	2			1 2 2 .
																								0		02 2 2				0
																	2	2						0		02 2 2				0
		Звідси												1			2		,	тобто
		Звідси												1			2		,	тобто
																	2
										0							0
																											рис. 4.10
	2		2 2 .																								рис. 4.10
	2		2 2 .
	0

Знайдемо другу похідну f(z):

f (z) 4

1 2

4z2z 4

;

f (0) 4 8 2 0 ,

тобто в точці z=0

функція f(z)

має максимум, а

А(z) – мінімум.

f (
f (	1 2 2 ) 8 16 2 0			- в z	1 2 2 функція f(z) має мінімум, а

А(z) – максимум.

Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти А(ω) наведена на рис.4.10 (крива 1).

Якщо частота зовнішньої сили збігається з власною частотою системи, то виникає така ситуація, коли система здатна споживати усю енергію, закладену в джерелі. При цьому говорять про виникнення явища резонансу. Частота, на якій виникає резонанс називається резонансною.

Дослідимо залежність амплітуди швидкості від частоти.

Av ( )

, або

2 2

(z)

zAст 0

. Тоді f (z)

z 0

2 4 2 z2

103

					0 z4z z2			1
		0	1 z2	2 4 2 z2	0 z4z z2			1	2 2
f (z)
f (z)						2 4 2 z2
				1 z2		2 4 2 z2
							1 2 2
0	1 z2		2 4 2 z2 4z2		z2		1 2 2		0

z 0

в) Власні затухаючі коливання

Загальний розв'язок диференціального рівняння, що описує вимушені коливання системи з урахуванням сил опору середовища (4.13) має вид

		(t) e t (a cos
x(t) x	(t) x	(t) e t (a cos					2	2 t a sin			2	2 t)
o	ч		1			0			2		0
				h0 cos	t					.

			02 2			2 2 2
			02 2			2 2 2

Перший доданок в цьому виразі описує коливальний процес в системі з одним ступенем вільності, якщо в ній під дією початкових умов збурені коливання і на систему діє сила опору середовища, пропорційна першому степеню швидкості:

	x (t) e t
	x (t) e t				(a cos		2	2 t a sin	2	2 t)
		o				1	0	2	0
	ae t cos					02 2 t ae t cos 1t ,
				a2
де a a 2	a 2 ,		tg	a2		, 2		2 .
де a a 2	a 2 ,		tg			, 2		2 .
1	2			a1		1	0
				a1
Залежність х0(t) показана на рис.4.11.
x0
x0

	a0	a1	t2	a2	t3
0	t1		t2		t3
0					t
	t0	t0+Tз		t0+2Tз	t

рис. 4.11

Рух системи є затухаючим коливальним, але не періодичним, оскільки x0(t)≠x0(t+ Tз). Тому, умовно введемо поняття період Tз такого руху.

104

Періодом згасаючих коливань Tз (рис.4.11) називають проміжок часу [t1;t2] між двома послідовними проходженнями тіла (точки) через положення статичної рівноваги в певному фіксованому напрямку.

У положенні статичної рівноваги (t1,t2,t3,…,ts на рис.4.11) cos(ω1t-α)=0.


Оскільки ω T =2π, то T =		2	=		2		.
Оскільки ω T =2π, то T =			=				.
1 з	з	1		2		2
		1		2		2
				0

Звідси видно, що період згасаючих коливань більший за період незгасаючих коливань, тобто опір середовища, що пропорційний першому степеню швидкості, збільшую період коливань.

Дослідимо максимальні відхилення а0, а1, а2, що відповідають моментам часу t0, t0+Tз, t0+2Tз.

a0 x0 t0 ae t0 ;

a1 x0 t0 Tз ae (t0 Tз ) ; a2 x0 t0 2Tз ae (t0 2Tз ) .

Знайдемо відношення максимальних відхилень:

a1	a2	...	as	e Tз .
		...		e Tз .
a0	a1		as 1

Таким чином, амплітуда згасаючих коливань у разі в'язкого тертя (сила опору, пропорційна першому степеню швидкості) спадає за геометричною прогресією. Величину η (знаменник геометричної прогресії) називають

декрементом згасання (або фактором згасання), а модуль натурального логарифма цієї величини ln Tз - логарифмічним декрементом згасання

коливань.

Поняття про декремент згасання коливань використовують при експериментальному визначенні коефіцієнта опору середовища.

Підводячи підсумок, зазначимо, що для системи з в'язким тертям слід розрізняти три характерні частоти:

0 - частота власних незатухаючих коливань;

1. 02 2 - частота власних затухаючих коливань;

2. 02 2 2 - резонансна частота за зміщенням;

3.0 - резонансна частота за швидкістю.

4.1.3. Добротність коливальної системи

При вивченні коливальної системи без демпфірування, визначилися три інтегральні характеристики: амплітуда, частота власних коливань і початкова фаза. Для системи з демпфіруванням введемо четверту характеристику, що є кількісною мірою демпфірування: добротність коливальної системи Q.

Розглянемо вимушені коливання системи в усталеному режимі.

105

Відомо, що амплітуда коливальної швидкості при цьому має вигляд:

Av	( )		h0		.

		02 2		2 2 2

Амплітудно-частотну характеристику зображено на рис.4.12.

Інтервал Δω=ω2-ω1 називають шириною резонансної кривої. Такий вибір інтервалу частот пов'язаний з виконанням наступної умови: кінетична енергія в системі не повинна зменшитися більше, як у 2 рази по відношенню до її максимального значення. Тоді добротність системи визначають наступним чином:

Q	0		.

	2	1

Запишемо Δω=ω2-ω1 через параметри коливальної системи. Для цього підставимо в рівняння

Av ( ) Av max ( 0 )

значення амплітуди коливальної швидкості. Тоді отримаємо:

Av ( )

Av max

Avmax

0 1 0 2
рис. 4.12

h0 0		h0				h0						02 2 2 2 2 2			2 ;
h0 0		h0				h0								2

2 0 2			2	0
2 0 2	2		2	0			2	2			2
				2	2
						02 2 2 4 2 2
								2	2	2
							0

		2							2 ;			2	2
			1,2					0			3,4		0

Фізичний зміст мають лише додатні корені, тоді припускаємо, що:

1 2 02 ;

2 2 02 ;2 1 2 .

Звідси Q 0 -добротність системи та її характеристика демпфірування.

Запишемо одне корисне співвідношення між логарифмічним декрементом згасання θ і добротністю Q:

T	2		2	2	.
T					.
з	0	02 2		2Q 2 1
	0	02 2		2Q 2 1

106

При Q ≤ ½ власні рухи в системі не коливальні. Значення Q = ½

називають критичним (межа коливального режиму), як і відповідне йому

значення δ=ω0. У раз високої добротності (Q >> 1)		або	Q	.
	Q
Наведемо приклади величин добротності деяких типів згасаючих
осциляторів: електричний контур – 50÷500;
гучномовець (на низьких частотах) – 3÷10;
рояльна чи скрипкова струна – 1000;
камертон – 3000;
п'єзоелектричний кристал – 500 000.

4.1.4. Комплексний механічний опір (імпеданс) системи

Реакція коливальної системи залежить не тільки від зовнішньої сили, а і від частоти впливу. Як нова важлива інтегральна характеристика процесу вимушених коливань системи використовується така величина, як комплексний механічний імпеданс, або комплексний механічний опір (Z). Ця величина визначається як відношення комплексної зовнішньої сили, що діє на систему до комплексної коливальної швидкості ( x(t) ):

H (t)

x(t)

Якщо H (t) H

e i t , то

x(t)

e i t ;

2 i2

x(t)

i h0

e i t .

2 i2

Таким чином,

0 02 2 i2

H (t)

H e i t

2 2

m 2 i

x(t)

i h0

i t

i h

2 i2 e

де

;

. Тоді

ZR i C m ;

як будь-яка комплексна величина, імпеданс може мати вигляд:


				m 2	2	2	2	2				2	C
					2	2	2	2				2	C
Z	Z	ei ;	Z			0			;	Z	R
Z	Z	ei ;	Z			0			;	Z	R

	2
m	;

107

	1	C
tg			m .

	R m
Величина визначає різницю			фаз між зовнішньою силою та

коливальною швидкістю в системі.

Розглянемо залежність імпедансу системи від частоти ω зовнішньої сили.

	ω мала (	2		2		2 2 ), то Z im		2	i	C
Якщо					;			0			. Імпеданс
Якщо					;						. Імпеданс
	0					0

чисто уявний, додатній і не залежить від R. Такий імпеданс називається
імпедансом пружнього типу і говорять, що система керується пружністю.
Якщо	2 2 , то		Z 2 m R . Імпеданс дійсний і залежить лише від
	0
R – система в районі резонансу керується демфіруванням.
Якщо	ω – величина ( 2					2 ; 2 2 ), то	Z im . Імпеданс

чисто уявний, від'ємний і не залежить від R. Це імпеданс масового типу, і говорять, що система керується масою.

108

4.2. Основи віброізоляції та віброзахисту

Як вже було сказано раніше, коливання можуть мати і негативний вплив. Тому необхідно знаходити методи і способи ізоляції та захисту від таких вібрацій.

Задачу віброзахисту і віброізоляції розглянемо на найпростіших прикладах систем, що мають один ступінь вільності та здійснюють вимушені коливання. Ця задача виникає у двох випадках:

1)коли треба ізолювати фундамент від шкідливих вібрацій машин, зумовлених, наприклад, їхньою динамічною незрівноваженістю;

2)коли який-небудь пристрій (машину, обладнання, електронну апаратуру тощо) треба захистити від шкідливої дії вібрацій, що може виникнути під час транспортування, від коливань машин, які працюють поряд і т.д.

Вобох випадках треба дослідити коливання тіла масою m. При цьому в першому випадку збурююча сила прикладена безпосередньо до тіла. У зв'язку з цим, таке збудження коливань називають силовим. У другому випадку збурення коливань тіла масою m відбувається через коливання основи, тобто її руху відносно нерухомої системи координат Oxyz. Таке збурення коливань називають кінематичним.

4.2.1.Силове збурення

Уразі силового збурення коливань потрібно, щоб реакція фундаменту була якомога меншою.

Запишемо рівняння Лагранжа другого роду:

H(t)

dt xc

xc - абсолютна координата руху маси m.

Запишемо

вирази

для

кінетичної,

потенціальної енергій функції Релея:

mxc

;

Cxc

;

Rxc

;

Знайдемо похідні :

d T

mxc ;

Cxc ;

dt xc

Rxc .

рис. 4.13

Звідси маємо рівняння

mxc Rxc Cxc H(t) .

Введемо p

- оператор диференціювання та отримаємо

109

mp2 Rp C xc H (t) ; xc

H (t)

h0 (t)

Rp C

2 p

F Rxc Cxc - сила, що діє на фундамент, де

Rxc

- сила, що виникає в демпфері;

Cxc

- сила пружності.

2 p 0

;

2 p 02 h0 (t)

p 2 p

Таким чином виражається дія коливальної маси на фундамент.

4.2.2. Кінематичне збурення

При кінематичному збуренні коливань задача полягає в тому, щоб амплітуда абсолютного коливання тіла (xk) була б якомога меншою.

Для цього випадку рівняння Лагранжа другого роду записується як:

;

dt x

xk – абсолютна координата руху.

Запишемо вирази для кінетичної та потенціальної енергій і функції Релея:

mx 2

C xk

x 2

R xk

x 2

;

Знайдемо похідні:

d T

C xk x

;

xк

dt xk

mxk ;

R xk

x .

Звідси отримаємо рівняння:

mxk Rxk Cxk

Cx Rx Cx0 cos t Rx0 sin t

x(t)

Cx0 2

Rx0 2

cos t ,

, або

рис. 4.14

2 x

2 x 2 x 2 x .

Введемо оператор диференціювання:

. Тоді,

p2 2 p 02 xk 02 2 p x .

02 2 p x(t)

Звідси маємо:

p2 2 p 2

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2016393.9 Кб8ASSUD_Orda_4ASU-A.docx
#
23.11.2019349.7 Кб5ASS_1nn.doc
#
17.03.20161.07 Mб6atp_shemu_1354515770.pdf
#
21.11.2018404.48 Кб2attachment.doc
#
15.04.2019617.47 Кб1attachment.doc
#
12.05.20153.12 Mб13attachment.pdf
#
15.04.2019250.88 Кб1attachment1.doc
#
12.05.20152.01 Mб69AutoCAD.pdf
#
17.03.20161.97 Mб31A_S_Makarenko_Pedagogicheskaya_poema МАКАРЕНКО ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПОЭМА.pdf
#
17.03.20161.59 Mб22b.pdf
#
17.03.2016146.43 Кб6bakalavr_diploma2012.doc