В зависимости от количества входов и выходов ЛСС делят на одномерные
(SISO – single-input, single-output) и многомерные (MIMO – multiple-input, multipleoutput).
ЛСС, заданная передаточной функцией, tf, имеет дополнительные свойства:
num: числители передаточных функций (двумерный массив ячеек – векторов, содержащих коэффициенты числителей передаточных функций от i- го входа к j-тому выходу в порядке убывания степени).
den: знаменатели передаточных функций (двумерный массив ячеек – векторов, содержащих коэффициенты знаменателей передаточных функций от i- го входа к j-тому выходу в порядке убывания степени).
Variable: переменная – аргумент передаточной функции (возможны только два варианта – 's' или 'p' для непрерывных систем, 'z' или 'p' для дискретных). Используется только для отображения передаточной функции.
ЛСС, заданная нулями и полюсами, zpk, имеет дополнительные свойства:
z: нули (двумерный массив ячеек - векторов, содержащих корни числителей передаточных функций от i- го входа к j-тому выходу).
p: полюса (двумерный массив ячеек - векторов, содержащих корни знаменателей передаточных функций от i- го входа к j-тому выходу).
k: матрица коэффициентов усиления от i- го входа к j-тому выходу.
Variable: переменная – аргумент передаточной функции (возможны только два варианта – 's' или 'p' для непрерывных систем, 'z' для дискретных). Используется только для отображения.
ЛСС, заданная в пространстве состояний, ss, имеет дополнительные свойства:
a: матрица А.
b: матрица В.
c: матрица С.
d: матрица D.
e: матрица E.
StateName: имена переменных состояния (массив ячеек - строк).
Матрица E, как правило, бывает пустой и используется только в "неявных" (дескрипторных) системах вида
Ex Ax Bu,
y Cx Du.
Такие системы в дальнейшем не рассматриваются. Для их создания служит специальная функция dss.
Создание и преобразования ЛСС
Имена классов – ss, tf, zpk, одновременно служат и именами конструкторов этих классов. Рассмотрим пример создания SISO.
Пример 1
Создадим одномерную систему Sys.
>> Sys=tf([3],[0.01 0.2 1])
Transfer function: 3
--------------------
0.01 s^2 + 0.2 s + 1
Есть ещѐ одна интересная возможность создать tf-объект. Надо создать передаточную функцию s и обычным для математики образом записать дробнорациональное выражение от этой переменной
>> s=tf('s')
Transfer function: s
Теперь переменная s обозначает передаточную функцию "чистое дифференцирование", "s". Запишем теперь передаточную функцию
>> W=7/(0.001*s^2+0.02*s+1)
Transfer function: 7
-----------------------------
0.001 s^2 + 0.02 s + 1
Внимательно присмотритесь к этому примеру. Последняя формула содержит арифметическое выражение, в которое входят обычные числовые константы и объект
– передаточная функция. Для таких объектов, как и для большинства объектов Matlab, определены методы, реализующие арифметические операции, которые имеют, разумеется, свой особенный смысл для каждого класса объектов. Для ЛСС в частности сложение означает параллельное соединение, умножение – последовательное соединение, деление – последовательное соединение с обратной передаточной функцией. То есть обычные операции (структурные преобразования) над передаточными функциями. Для многомерных систем такие операции местами напоминают матричную арифметику. Но мы не будем заниматься многомерными системами.
Для манипулирования (структурных преобразований) ЛСС не хватает ещѐ одной незаменимой операции – замыкания обратной связи. Она реализуется функцией feedback с двумя обязательными аргументами – передаточными функциями прямой цепи и обратной связи. Если третьим необязательным аргументом будет "+1", будет замкнута положительная обратная связь, если не задавать третий аргумент, обратная связь будет отрицательной.
Пример 2
>> W1=tf ( 1, [1 0] )
Transfer function: 1
-
s
>> W2=tf(1)
Transfer function: 1
>> feedback(W1,W2)
Transfer function: 1
-----
s + 1
>> feedback(W1,W2,+1)
Transfer function: 1
-----
s - 1
>>
Аналогичным путѐм можно создавать и другие разновидности (формы) ЛСС, что проще показать на примере.
Пример 3 |
|
|
|
|
>> z=[]; |
|
|
%Вектор нулей (числителя) - пустой |
|
>> p=[0 -1+2*j -1-2*j -2]; |
%Вектор полюсов (нулей знаменателя) |
|||
>> K=pi; |
|
%Коэффициент усиления |
||
>> zpk(z,p,K) |
|
|||
Zero/pole/gain: |
|
|||
|
3.1416 |
%Передаточная функция |
||
----------------------- |
%с явно выделенными нулями |
|||
s (s+2) (s^2 + 2s + 5) |
%и полюсами |
|||
>> A=[-1 |
1; -2 0]; B=[0; 1]; |
C=[1 0]; D=0; |
||
>> ss(A,B,C,D) |
|
|||
a = |
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
|
|
x1 |
-1 |
|
1 |
|
x2 |
-2 |
|
0 |
|
b = |
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
x1 |
0 |
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
c =
x1 x2
y1 1 0
d =
u1
y1 0
Continuous-time model.
>>
Три перечисленные выше класса ЛСС взаимозаменяемы почти всюду, их можно смешивать в арифметических выражениях (структурных преобразованиях). Более того, их можно преобразовывать один в другой, используя те же конструкторы, что и для создания.
Последняя ss – система сохранена в переменной ans. Преобразуем еѐ в передаточную функцию:
>> tf(ans)
Transfer function: 1
-----------
s^2 + s + 2
>>
Выше была определена передаточная функция (tf-объект) W. Преобразуем еѐ в другие формы:
>> zpk(W)
Zero/pole/gain:
7000
-------------------
(s^2 + 20s + 1000)
>> ss(W)
a = |
|
|
|
x1 |
x2 |
x1 |
-20 |
-15.63 |
x2 |
64 |
0 |
b =