Kozlovski_Kobzev

4.Сообразуясь с проставленными в клетках знаками, подсчитывается значение индекса путем сложения или вычитания значений стоимости грузоединицы, которые занесены в каждую клетку.

5.Повторяются шаги 1 - 4 до тех пор, пока не будут подсчитаны индексы для всех неиспользованных клеток. Если значение суммы всех индексов возросло или равно нулю, это означает, что достигнуто оптимальное решение. Если нет, то существует возможность улучшить текущее решение и понизить суммарные затраты перевозок.

Используем метод последовательного улучшения в приложении к рассматриваемому примеру и проведем оценку неиспользованных маршрутов доставки грузов. Таких маршру-

тов четыре: А - Е, А - F, B - F, C - D.

Шаги 1 и 2. Начиная с маршрута А - Е, проложим кратчайший путь, последовательно используя занятые клетки по рис.3.4, табл.3.9, и проставим знаки “плюс” и “минус” в углах этого пути. Подчеркнем, что последовательно используются только клетки, занятые проставленными значениями объема перевозок. Отсюда существует только один кратчайший путь для каждой свободной клетки. Как только такой путь найден, можно проставлять знаки “плюс” и “минус в каждом прямом углу найденного пути.

Шаг 3. Как решить, в какой клетке проставлять знак “плюс”, а в какой знак “минус”? Ответ прост. Поскольку применяется затратная оценка пути А - Е, ее можно получить, рассматривая перемещение только одного контейнера по маршруту А - Е. Это больше на одну единицу, чем тот объем груза, который перемещался между двумя пунктами (там его просто не было), поэтому в данной клетке проставляется знак “плюс”. Но мощность завода в пункте А составляет 100 контейнеров, поэтому поставку из А в D необходимо уменьшить на единицу. Это уменьшение отмечается знаком “минус” в соответствующей клетке. Продвигаясь по короткому пути далее, отмечается, что потребность склада в D в размере 300 единиц теперь

80

не удовлетворяется, нужно увеличить на одну единицу поставку из В в D, сделав ее равной 201 единице. Отмечая данное увеличение, в соответствующий прямой угол проставляется знак “плюс”. В заключение шага должна быть понижена на единицу поставка из В в Е, чтобы сделанные изменения соответствовали мощности завода в В. Поэтому помещается знак “минус” в прямой угол В - Е. В результате получаем сбалансированное перемещение по всем четырем наикратчайшим путям.

Шаг 4. Подсчитывается результат перемещения, используя значения стоимости перевозки одного контейнера, имеющиеся в клетках.

Индекс А - Е: $4 - $5 + $8 - $4 = +$3.

Это означает, что для каждого контейнера, перевозимого из А в Е, суммарные транспортные затраты будут возрастать на $3 по сравнению с достигнутым уровнем.

Проверим теперь не использованный маршрут из А в F, который несколько сложнее провести по кратчайшему пути, чем в предыдущем случае. Опять отметим, что изменяем движение вдоль пути только под прямым углом, двигаясь по занятым клеткам пути. Путь проходит по пяти занятым к шестой пустой клетке А - F, как показано в табл.3.10.

Таблица 3.10.

Тестирование пути А - F

Индекс А - F: $3 - $5 + $8 - $4 + $7 - $5 = +$4.

Как видим, и этот путь не снизит суммарных затрат на перевозки. Оставшиеся два пути можно оценить, действуя подобным же образом.

Индекс В - F: $3 - $4 + $7 - $5 = +$1.

Кратчайший путь: BF - BE + CE - CF.

Индекс С - D: $9 - $7 + $4 - $8 = -$2.

Кратчайший путь: CD - CE + BE - BD.

В последнем случае отрицательный индекс показывает, что может быть получена экономия затрат, если в маршруты перевозок включить не использованный маршрут С-D.

Итак, наличие отрицательного индекса при оценке не использованных путей свидетельствует, что есть возможность улучшения полученного ранее решения; численное значение отрицательного индекса показывает размер возможного снижения суммарных затрат на перевозки, если их осуществлять по данному пути. Поэтому следующий шаг сводится к выбору пути, из числа не используемых и имеющих отрицательные индексы, по критерию максимума экономии затрат, т.е. пути с наибольшим отрицательным индексом. Этот путь представляет собой оптимальный план перевозок.

81

Опираясь на изложенные выше правила тестирования возможных путей перевозок, можно получить матрицу окончательного решения задачи, стоящей перед фирмой; предлагаем это сделать читателю. Подведем только итог по примеру 3.4: оптимальным для фирмы будет путь B - F.

Предложение не равно спросу. Наиболее частым в мире реальных проблем является случай, когда суммарная потребность превосходит суммарные возможности снабжения. С проблемами “разбалансированности” спроса и предложения можно легко справиться в теории, если в рассмотренные выше решения ввести фиктивные элементы. Для того, чтобы обеспечить фиктивное равенство (баланс) суммарного предложения и суммарного спроса, в матрицу решения вводятся фиктивные источники поступлений (завод), когда не хватает фактических, т.е. предложение ниже спроса, или вводятся фиктивные потребители (производственный склад), когда не хватает фактических, т.е. предложение выше спроса. В каждом из этих случаев назначаются нулевые затраты на перевозки каждой фиктивной клетке: на таких маршрутах по факту перевозки отсутствуют, отсутствуют и затраты на их осуществление.

Предположим, фирма из рассматриваемого примера увеличивает объем производства в А, доводя мощность размещенного там завода до 250 единиц. Это увеличение производства должно найти отражение в матрице, как показано в табл.3.11.

Таблица 3.11. Правило северо-западного угла для матрицы с фиктивным столбцом

Примечание. *Новая мощность завода в пункте А Для нахождения начального допустимого решения снова используем правило северо-

западного угла; поскольку матрица сбалансирована за счет введения фиктивного столбца, решение может быть найдено обычным путем.

Суммарные затраты: 250×$5+200×$4+50×$8+50×$3+150×$5+150×$0=$3350.

Вырожденность. Для того, чтобы использовать метод последовательного решения для транспортной задачи, нужно рассмотреть правило, имеющее отношение к числу используемых транспортных путей. Это правило может быть сформулировано следующим образом:

число занятых клеток в любом решении (начальном или более позднем) должно быть равно числу строк в матрице решения плюс число столбцов матрицы без одного. Решение, в кото-

ром это требование не выполняется, называется вырожденным.

Вырожденность случается, когда слишком мало клеток используется в матрице перевозок. В результате становится не возможным прочертить последовательный замкнутый путь для тестирования одной или нескольких не использованных клеток. Можно легко убедиться, что рассмотренные ранее решения не имели вырожденности. Например, задача примера 3.4.

82

в начальной постановке имела 5 назначенных путей доставки (3 строки заводов + 3 столбца складов - 1). В последнем случае, когда использован фиктивный столбец (фиктивный складпотребитель), имелось 6 назначенных путей доставки (3 строки + 4 столбца - 1).

Чтобы преодолеть проблему вырожденности, вводится искусственно занятая ячейка, в которой размещается нулевая или близкая к нулевой перевозка (представляющая фиктивную перевозку). Для этого используется одна из пустых клеток, которая далее рассматривается как занятая. Фиктивная ячейка (клетка) размещается так, чтобы дать возможность прочертить последовательный замкнутый путь, как это требует метод последовательного решения.

Фирма имеет три крупных распределительных центра (центральные склады снабжения), из которых снабжает три своих центра розничной торговли (розничные складыпотребители). Затраты перевозок, емкости складов снабжения и покупательский спрос в зоне действия складов-потребителей представлены в транспортной матрице табл. 3.12.

Таблица 3.12.

Правило северо-западного угла и вырожденность

Для нахождения начального плана перевозок используем правило северо-западного угла. Начальное решение вырождено (нарушено правило, рассмотренное выше); для исправления ситуации можно разместить 0 перевозок в пустой клетке, представляющей путь перевозки из склада снабжения 2 к складу-потребителю 1. Теперь можно обозначить последовательно все пути шагов решения и рассчитать все индексы, ведущие к улучшению плана перевозок.

МODИ метод. МODИ (модифицированный распределительный) метод позволяет рассчитать улучшающие решения индексы для каждой пустой клетки, не прочерчивая всех связанных путей. Это значительно экономит время при решении транспортной задачи.

Применение метода начинается с начального решения, полученного по правилу северозападного угла. Нужно определить значимость каждой строки (R1, R2, R3, если имеется три

строки) и каждой колонки (К1, К2, К3, если имеется три колонки) в транспортной матрице.

Обозначения:

Ri - оценка, назначенная строке i (i=1, m); Кj - оценка, назначенная колонке j (j=1, n);

Сij - затраты в клетке ij (затраты перевозки из источника i по назначению j).

МОDИ метод включает пять шагов.

1. Рассчитываются оценки для каждой строки и колонки в виде набора Ri + Кj = Сij, но только для тех клеток, которые последовательно используются или заняты. Например, если

83

клетка находится на пересечении строки 2 и колонки 1, она формирует оценочный набор

R2+ К1 = С21,.

2.После того, как получены все наборы (уравнения), отмечается R1=0.

3.Решается система уравнений для всех R и К оценок.

4.Рассчитывается индекс улучшения для каждой пустой клетки:

индекс Iij = Сij - Ri - Кj.

5.Отбирается наибольший по абсолютному значению отрицательный индекс и продолжается решение задачи (как было сделано, используя метод последовательного улучшения решения).

Опираясь на начальное решение задачи, с использованием МОDИ метода рассчитаем индексы каждой пустой клетки. Начальная транспортная матрица в несколько модифицированном виде представлена в табл.3.13.

Сначала составим уравнения для каждой занятой клетки:

1)R1+ К1 = 5;

2)R2+ К1 = 8;

3)R2+ К2 = 4;

4)R3+ К2 = 7;

5)R3+ К3 = 5.

Положив R1=0, можем легко, шаг за шагом, найти решение для К1, R2, К2, R3, К3:

1)0 + К1 = 5 К1 = 5;

2)R2+ 5 = 8 R2 = 3;

3)3 + К2 = 4 К2 = 1;

4)R3+ 1 = 7 R3 = 6;

5)6 + К3 = 5 К3 = -1.

Рассчитаем индексы улучшения для каждой пустой ячейки.

А - Е: I12 = С12 - R1 - К2 = 4 - 0 - 1 = $3;

A - F: I13 = С13 - R1 - К3 = 3 - 0 - (-1) = $4;

B - F: I23 = С23 - R2 - К3 = 3 - 3 - (-1) = $1;

C - D: I31 = С31 - R3 - К1 = 9 - 6 - 5 = -$2;

84

Заметим, что индексы точно такие же, как прежде. Теперь имеется только один экономически эффективный путь из С в D, к которому можно применить метод последовательного улучшения решения.

Анализ размещения. Размещение нового завода или производственного склада имеет важное значение для фирмы с финансовой точки зрения. Как правило, несколько альтернативных вариантов должны быть рассмотрены и оценены. На решение о размещении накладывают ограничения множество факторов, но решающим является выбор варианта, минимизирующего суммарные затраты.

Рассмотренные транспортные методы несомненно полезны, когда анализируются альтернативы размещения мощностей разного назначения в рамках единой производственнораспределительной системы (сети). Появление каждого нового завода или производственного склада сопровождается появлением новых вариантов распределения и схем грузопотоков, которые зависят от размеров, специфики, конкретных условий собственного производства и потребления, от затрат транспортирования и других затрат, связанных с использованием тех или иных ресурсов в каждом конкретном случае. Выбор нового размещения опирается на критерий минимума общих затрат, т.е. затрат в рамках всей производственнораспределительной системы. Эта концепция иллюстрируется примером 3.5.

Пример 3.5. Транспортная задача с учетом затрат производства и распределения.

Фирма последовательно реконструирует заводы в городах А и В, чтобы снабжать свои главные распределительные центры в городах Е и F. Учитывая увеличивающийся спрос на продукцию ее заводов, фирма решает открыть третий завод и имеет вполне определенный выбор его размещения в одном из двух городов - С или D. Имеющаяся информация о затратах производства и распределения, производственной мощности и распределении спроса сведена в табл.3.14.

Примечание. * Затраты производства и распределения (перевозка, погрузка, хранение) в расчете на единицу продукции, $ / ед.

Перед фирмой встает важнейший вопрос: какое новое размещение в комбинации с существующими заводами и центрами распределения обеспечит фирме минимальные затраты. Для ответа на этот вопрос необходимо решить две транспортные задачи - по одной на каждый из двух возможных вариантов размещения. Вариант, который обеспечит наиболее низкие суммарные затраты размещения и производства для системы в целом, будет рекомендован к реализации.

85

Начнем с варианта, когда новый завод размещается в городе С. Транспортная матрица для данного случая представлена в табл.3.15.

Используем правило северо-западного угла для нахождения начального решения. Суммарные затраты составят $23600. Заметим, что единичные затраты перевозки “завод - центр распределения” в табл. 3.15 формируются добавлением затрат распределения к затратам производства единицы, указанным в табл.3.14. Так, суммарные затраты производства плюс перевозка единицы из А в Е равны $14 ($8 за перевозку + $6 за производство).

Суммарные затраты: 600×$14+200×$9+700×$12+500×$10=$8400+$1800+$8400+$5000= $23600.

Оптимально ли это начальное решение? Метод последовательного улучшения решения позволит протестировать и рассчитать индексы для неиспользованных маршрутов. Индексы улучшения решения будут следующими.

Индекс для маршрута А - F: $11(A-F)-$14(A-E)+$9(B-E)-$12(B-F)=-$6.

Индекс для маршрута С - Е: $9(C-E)-$10(C-F)+$12(B-F)-$9(B-E)=$2.

Поскольку фирма может сэкономить $6 на перевозке каждой единицы груза из А в F, начальное решение будет улучшено, если по этому пути будет отправляться столько груза, сколько возможно (600 единиц в данном случае). Улучшенная транспортная матрица представлена в табл.3.16. Можно убедиться, что суммарные затраты составят теперь $20000, а экономия по сравнению с начальным решением составит $3600.

Далее нужно протестировать два неиспользованных пути и выяснить, не имеют ли они отрицательные индексы улучшения решения.

Индекс для маршрута А - Е: $14 - $11 + $12 - $9 = $6.

Индекс для маршрута С - Е: $9 - $10 + $12 - $9 = $2.

86

Оба индекса положительны, т.е. оптимум достигнут и показывает, что новый завод нужно размещать в городе С. Если фирма принимает этот план размещения, то ее суммарные затраты на производство и распределение составят $20000.

Рассмотренный пример дает ответ лишь на половину вопроса, который поставила фирма. Такая же транспортная задача должна быть решена для варианта размещения, предполагающего строительство нового завода в городе D. Но эту возможность поупражняться оставляем читателю.

Вопросы для самопроверки

1.Каковы содержание и задачи стратегии размещения?

2.Каков экономический смысл проблемы размещения?

3.Что представляет собой проблема размещения с операционной точки зрения?

4.Какие задачи размещения возникают в различных областях операционной деятельности предприятия (фирмы)?

5.Какие факторы необходимо учитывать при принятии решения о размещении?

6.Чем различается подход к принятию решения о размещении в сфере материального производства и в сфере сервиса?

7.Как используется метод взвешивания в приложении к задачам размещения?

8.Как используется анализ критической точки в приложении к задачам размещения?

9.В чем заключается метод “центра гравитации”?

10.Какие методы решения транспортной задачи Вам известны и как они используются в приложении к задачам размещения?

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Фирма принимает решение об открытии регионального торгового представительства. Какой из регионов является наиболее привлекательным? Для ответа на этот вопрос фирмой подготовлен специальный рейтинговый лист, представленный ниже.

Рейтинговый лист регионов (варианты размещения торгового представительства)

Ответ: наиболее привлекательным для фирмы является регион 1, так как он получил наибольшую рейтинговую оценку 3,8. Рейтинговые оценки остальных регионов: второй –

3,6; третий – 3,65; четвертый – 3,75.

Задача 2. Найти наиболее экономичное размещение для объема работ 10000 единиц в год. Рассматриваются три альтернативы: места размещения А, В, С. Постоянные затраты по

87

местам размещения соответственно $60000, $90000, $120000; переменные затраты - $9, $7, $5 на единицу работ. Ожидаемая цена единицы работ $20.

Ответ: при заданном объеме наиболее экономичное размещение – место А, которое характеризуется минимальными затратами размещения $150000; ожидаемый доход при этом $50000 в год.

Задача 3. Определить место размещения оптовой базы при следующих исходных данных.

Тест для самоконтроля

1. В трудоизбыточных регионах целесообразнее размещать:

а) материалоемкие производства; б) энергоемкие производства; в) трудоемкие производства; г) капиталоемкие производства.

2. Точку розничной торговли целесообразнее размещать:

а) поближе к поставщику; б) поближе к местам скопления народа; в) поближе к транспортной магистрали; г) поближе к готовым инженерным коммуникациям.

3. Для выбора места размещения автозаправочного комплекса нужно прежде всего изу-

чить:

88

а) розу ветров; б) архитектурно-строительный план территории; в) схему пассажиропотоков и их интенсивность; г) схему транспортных потоков и их интенсивность.

4. Критерием для выбора места размещения в сервисе является:

а) минимум транспортных издержек; б) минимум общих затрат; в) максимум выручки; г) максимум цены.

5. Какой из регионов А, В или С более предпочтителен для размещения объекта фирмы, если в регионе А приходится платить работникам $13 в час при производительности 1,2 единицы работы в час, в регионе В - $12 при производительности 1,10 единицы в час, в регионе С - $10 при производительности 1,00 единица в час:

а) регион А; б) регион В; в) регион С; г) все регионы равнозначны.

6. Какой из вариантов размещения является более предпочтительным при следующих исходных данных:

а) пункт А; б) пункт В; в) оба пункта равнозначны; г) оба пункта неприемлемы.

7.Выбрать наиболее экономичный вариант размещения для объема продаж 5000 единиц в год при постоянных затратах по местам размещения А, В, С соответственно $30000, $70000, $100000, переменных затратах $70, $50, $20 на единицу.

а) пункт А; б) пункт В; в) пункт С; г) все пункты равнозначны.

8.Определить размер ожидаемой прибыли для наиболее эффективного варианта размещения из предыдущей задачи при ожидаемой цене $90 за единицу:

а) $50000; б) $0000; в) $90000; г) $120000.

9.Определить координаты центра гравитации, если координаты потребителей и их спрос

(единиц/ период) соответственно равны А(70; 40) – 300, В(30; 60) – 400, С(50; 20) – 300: а) (20; 40); б) (50; 30); в) (48; 42); г) (36; 38).

10.Определить суммарную стоимость перевозок, сделав назначения по правилу северозападного угла, при следующих исходных данных.

Транспортная матрица задачи

89