Kozlovski_Kobzev

распределяются по закону Пуассона; используется FIFS-дисциплина; осуществляется однофазное обслуживание. В дополнение они описывают системы сервиса, которые оперируют в стабильных условиях, т.е. прибытие и обслуживание остаются стабильными во время анализа. Рассматриваемые модели очередей представлены в табл.1.1.

20

Модель А: одноканальная модель очередей. Одноканальная, или односерверная, система обслуживания. Прибытия формируют простую очередь на обслуживание к одной станции. Используется пуассоновское распределение прибытий и экспоненциальное время обслуживания.

Допускается, что следующие условия относятся к этому типу систем.

1.Прибытия обслуживаются по правилу “первым пришел, первым обслужен” (FIFS), каждое прибытие ожидает обслуживания в зависимости от длины очереди.

2.Прибытия являются независимыми от предыдущих прибытий, но среднее число прибытий не изменяется во времени.

3.Прибытия описываются пуассоновским распределением вероятности и поступают из неограниченного (или бесконечно большого источника).

4.Времена обслуживания изменяются от одного клиента к другому и не зависимы друг от друга, но их среднее время известно.

5.Время обслуживания подчинено отрицательному экспоненциальному закону распределения.

6.Время обслуживания меньше времени между прибытиями.

Формулы для модели А, или М/М/1, представлены в табл.1.2.

Таблица 1.2.

Формулы для модели очередей А - простой, или М/M/1

l - среднее число прибытий за период времени;

m - среднее число обслуженных за период времени Среднее число единиц (клиентов) в системе Ls = l /(m-l)

Среднее время единицы, проводимое в системе (время ожидания + время обслуживания)

Ws = 1/(m-l)

Среднее число единиц в очереди Lq = l2 /m(m-l)

Среднее время единицы, проводимое в ожидании в очереди Wq = l/m(m-l) Коэффициент использования системы r = l/m

Вероятность 0 единиц в системе (когда обслуживание бесполезно) P0 = 1 - l/m Вероятность более, чем k единиц в системе Pn>k = (l/m)k+1

Пример 1.7. Модель М/М/1. Рабочий в мастерской автосервиса способен обслуживать три автомобиля в час (или около 20 минут на один автомобиль) согласно отрицательному экспоненциальному распределению. Клиенты, нуждающиеся в этом обслуживании в мастерской, появляются по два в час, подчиняясь распределению Пуассона. Клиенты обслуживаются по правилу FIFS и появляются из практически неограниченного источника возможных потребителей услуг.

Операционные характеристики системы очередей мастерской: l = 2 автомобиля, поступившие за час

m = 3 автомобиля, обслуженные за час

Ls = l/(m-l) = 2/(3-2) = 2/1=2 автомобиля в системе в среднем Ws = 1/(m-l)= 1/(3-2) = 1 - среднее время ожидания в системе

21

Lq = l2/m(m-l) = 22/3(3-2)= 4/3(1)=4/3=1.33 автомобиль, ожидающий в очереди в среднем

Wq = l/m(m-l) = 2/3(3-2) =2/3 час = 40 минут - среднее время ожидания в очереди на 1 автомобиль

r = l/m = 2/3 = 66.6% времени механик занят

P0 = 1 - l/m = 1 - 2/3 = 0.33 - вероятность 0 автомобилей в системе

Вероятность более, чем k автомобилей в системе

k Pn>k = (2/3)k+1

0.667 <------- Это эквивалентно 1-Р0=1-.33=.667

1.444

2.296

3.198 <------- Означает, что в 19.8% случаев больше, чем 3 автомобиля находятся

всистеме

4.132

5.088

6.058

7.039

После того, как рассчитаны операционные характеристики системы очередей, можно провести их экономический анализ.

Пример 1.8. Анализ затрат для модели М/М/1. Владелец мастерской автосервиса установил, что затраты ожидания в терминах неудовлетворенности клиента уровнем обслуживания, составляют $10 за час времени, проведенного в ожидании в очереди. С поступающего автомобиля имеем 2/3 часа ожидания (Wq), распространяя это на 16 автомобилей, обслуживаемых в день (два в час на восемь часов работы в день), получаем общее число часов, которое клиенты ожидают в очереди на ремонт каждый день - 2/3 (16) = 32/3 = 10 2/3 часа.

Затраты клиентов на ожидание в очереди = $10 (10 2/3) = $107/день.

Другие основные затраты владельца мастерской могут определяться заработком механика, который получает $7/час, или $56/день.

Общие рассчитанные затраты = $107 +$56 = $163/день.

Модель В: многоканальная модель очередей. Многоканальная система очередей, в которой два или более канала (сервера) способны обслуживать клиентов. Предполагается, что клиенты, ожидающие в очереди, обслуживаются первым освободившимся сервером. Прибытия подчиняются пуассоновскому распределению вероятности, время обслуживания имеет экспоненциальное распределение. Обслуживание ведется по правилу FIFS, и все серверы работают по этому правилу. Остаются и другие предположения, описанные ранее для одноканальной модели.

Уравнения очередей для модели В, или M/M/S, показаны в табл.1.3.

22

Можем обобщить эти характеристики и сравнить их с одноканальной моделью.

Расширение обслуживания имеет эффект практически на всех характеристиках. Особенно на времени ожидания в очереди, которое сокращается с 40 минут до 2.5 минут.

Модель С: модель с постоянным временем обслуживания. Время обслуживания посто-

янное взамен экспоненциального распределения времени обслуживания. Поэтому размер Lq, Wq, Ls, Ws всегда меньше, чем в модели А. Средняя длина очереди и среднее время ожидания в очереди короче в два раза. Формулы для модели С, или M/D/1, даны в табл.1.4.

Таблица 1.4. Формулы для модели очередей С - с постоянным временем обслуживания, или M/D/1

Среднее число каналов в системе: Ls = Lq + l/m Среднее время, проводимое в системе: Ws = Wq + 1/m

Пример 1.10. Модель M/D/1. Компания имеет грузовые автомобили, которые привозят материалы для переработки, ожидая в среднем по 15 минут перед разгрузкой. Затраты водителя и автомобиля в очереди составляют $60/час. Может быть закуплен новый разгрузчик, чтобы процесс разгрузки выполнялся по правилу 12 автомобилей в час (то есть 5 минут на автомобиль). Грузовые автомобили появляются согласно распределению Пуассона со средней 8 автомобилей в час. Если использовать новый разгрузчик, его затраты на амортизацию составят $3 на разгрузку. Анализ изменения затрат и результатов от покупки разгрузчика дал следующие результаты.

Существующие затраты ожидания на 1 рейс = (1/4 час ожидания)($60/час затрат) = $15/рейс. Новая система: l=8 грузовиков/час поступающих, m=12 грузовиков/час обслуживаемых. Среднее время ожидания в очереди Wq = l/[2m(m-l)]=8/[2(12)(12-8)]=1/12 час.

Затраты ожидания на 1 рейс с новым разгрузчиком = (1/12 час очереди)($60/час затрат) = = $5/рейс.

Экономия с новым оборудованием =$15(существующая система)-$5(новая система) = = $10/рейс.

Затраты на амортизацию нового оборудования $3/рейс. Чистая экономия $7/рейс.

Модель D: модель с ограниченным источником. Имеется ограниченный источник по-

тенциальных клиентов для узла обслуживания, т.е. в системе обслуживается некоторое огра-

24

ниченное число клиентов (объектов). Существует связь между длиной очереди и правилом появления заявки: чем длиннее очередь, тем меньше прибытий клиентов.

Табл.1.5. показывает формулы для модели D с ограниченным источником.

Таблица 1.5. Формулы и обозначения для модели очередей D - с ограниченным размером источника

Формулы

Обозначения: D - вероятность того, что единица будет ожидать в очереди; F - коэффициент эффективности; H - среднее число единиц обслуженных; J - среднее число обрабатываемых единиц; L - среднее число единиц, ожидающих обслуживания; М - число каналов обслуживания; N - число потенциальных клиентов; T - среднее время обслуживания; U - среднее время между единицами, поступающими на обслуживание; W - среднее время ожидания в очереди единицы; X - сервисный показатель.

Алгоритм расчета.

1.Рассчитываем Х (сервисный показатель, где Х =Т/(T+U)).

2.Находим Х и соответствующее М (где М - число каналов обслуживания).

3.Устанавливаем соответствие D и F.

4.Рассчитываем L, W, J, H или что-либо другое, необходимое для измерения работы системы обслуживания.

Пример 1.11. Модель очередей с ограниченным размером источника. Статистика сви-

детельствует, что каждый из пяти имеющихся агрегатов требует ремонта после примерно 20 часов работы. Поломки определяются распределением Пуассона. Один техник может отремонтировать агрегат в среднем за два часа в соответствии с экспоненциальным распределением. Поломка агрегата обходится в $120/час, техникам платят $25/час. Нужно ли принять второго техника для ремонта?

Предположим, второй техник может чинить агрегат в среднем за два часа. Считаем, что ограниченный источник равен пяти агрегатам, чтобы сравнить затраты одного или двух техников.

1.Отмечаем, что Т=2 часа и U=20 часов.

2.Тогда Х=Т/(T+U)=2/(2+20)=2/22=.091(округляем до .090).

3.Для М=1 каналу, D=.350 и F=.960.

4.Для М=2 каналам, D=.044 и F =.998.

5.Среднее число работающих агрегатов J=NF(1-X).

Для М=1 J=(5)(.960)(1-.091)=4.36. Для М=2 J=(5)(.998)(1-.091)=4.54.

25

6. Стоимостной анализ выглядит следующим образом

Анализ показал, что достаточно иметь одного техника. При этом будет иметь место экономия в размере: $105.20-101.80=$3.40 в час.

В практической деятельности менеджер может столкнуться с ситуациями, для которых требования традиционных моделей не удовлетворяются. В этих случаях используются более сложные математические модели или методы, называемые моделированием Монте-Карло.

Многие реальные приложения теории очередей требуют применения, где это возможно, имитационного компьютерного моделирования, которое стало неотъемлемой частью многих стандартных пакетов прикладных программ, используемых в производственном/ операционном менеджменте.

1.4. Сетевое планирование и управление проектами

Практически все организации сталкиваются с проблемой разработки и реализации проектов, в т.ч. дорогостоящих и долговременных. Это касается не только проектов обычных изделий, услуг, работ в сфере производства и сервиса. Существуют специальные проекты (строительство заводов, небоскребов, судов, космических станций), требующие выполнения тысяч скоординированных во времени и в пространстве операций по закупкам и производству, хранению и доставке, информационному обеспечению и сопровождению. Повсеместно все отрасли бизнеса и государство стремятся управлять проектами – с целью наиболее эффективного выполнения сложного комплекса взаимосвязанных работ.

Управление проектами. Специальные проекты, которые осуществляются на протяжении многих месяцев и лет, выходят за рамки обычных представлений об управлении хозяйственной деятельностью компаний. Основное требование к организации таких комплексов работ - нацеленность на конечный результат, или целенаправленность. Основное требование к управлению такими комплексами работ - постоянное владение ситуацией, или информированность менеджмента проекта о текущем состоянии дел и возможность своевременного вмешательства. Для выполнения подобных проектов внутри фирм и между фирмами на постоянной или временной основе создаются проектные или исследовательские команды, которые организационно могут оформляться как реальные или виртуальные административные единицы (подразделения) и самостоятельные организации (предприятия, их объединения). В операционном аспекте управление такими проектами включает три фазы: (1) планирование проекта как комплекса работ (в т.ч. по исполнителям, ресурсам и затратам); (2) составление расписания работ; (3) диспетчирование хода работ.

Для целей управления проектами наилучшим образом зарекомендовали себя на практике методы сетевого планирования и управления, которые активно используются и в иных областях, в частности, в управлении поставками по логистической цепи. Сетевое планиро-

26

вание и управление играет важную роль в реализации поставок и проектов, поскольку помогает ответить на вопросы о сложных логистических и проектных процессах, состоящих из тысяч работ: когда может быть завершен или должен быть начат комплекс работ в целом; какие работы комплекса являются критическими, а какие не критическими; какова вероятность, что работы будут завершены к конкретной дате; исполняются ли работы в соответствии с расписанием; расходуются ли средства в соответствии со сметой; достаточно ли ресурсов, чтобы закончить работы в срок; как завершить работы в более короткий срок с наименьшими затратами, и ряд других.

Объективная возможность применения сетевых методов как в управлении ходом проектов, так и в управлении ходом поставок, заключается в следующем. Прежде всего, это общность целей управления - получить конечный результат в точном соответствии с требованиями заказчика (обеспечив требуемый по условиям внешней среды уровень сервиса) - к требуемому сроку, в требуемом объеме, ассортименте, качестве, месте представления, с затратами минимально возможными/не выше допустимых. Наконец, в обоих случаях объектом управления являются сходные по своей природе потоковые процессы, представляющие сложные по составу и взаимосвязям последовательности работ (операции, подпроцессы), которые требуют взаимной координации выполнения во времени (по срокам начала и окончания), в пространстве (в т.ч. по исполнителям) и по ресурсному обеспечению.

Универсальность сетевых методов такова, что они могут одинаково успешно использоваться для организации, планирования, учета и контроля, регулирования хода работ (достижения целей управления) на оперативном, тактическом и стратегическом уровне управления; причем не только фирм, но и региональных, национальных экономик, глобальных организационных образований или целевых программ. Главное их достоинство - возможность не только планирования, но и контроллинга хода работ в режиме реального времени. Сетевая техника планирования и управления представляет интерес и как эффективное средство оперативного обнаружения и устранения внутренних сбоев, а также распространения регулирующих воздействий в сложных цепочках работ в порядке ответной своевременной реакции на изменения во внешней среде (спрос, научно-технический прогресс, политическая ситуация и т.д.).

В основе практически всех из известных систем сетевого планирования и управления лежит техника построения и использования сетевого графика, которая предполагает выполнение следующей общей последовательности шагов: выделить все основные работы или задачи комплекса; установить взаимосвязи и порядок предшествования для всех работ; вычертить сеть, содержащую все работы; определить время и/или денежные затраты, относящиеся к каждой работе; рассчитать самую продолжительную последовательность работ в сети, определяющую общую длительность выполнения всего комплекса работ и календарную дату окончания; использовать сеть для оптимизации плана по срокам и ресурсам, для учета и контроля, регулирования хода работ в режиме реального времени.

Для выполнения каждого из шагов на практике могут использоваться различные методы, которые обеспечивают разную точность получаемых результатов и имеют разную степень сложности в реализации. Рассмотрим основные понятия и процедуры, используемые в сетевом планировании и управлении, опираясь на примеры и термины “метода критическо-

го пути (CPM)”.

27

В примере последний узел имеет номер 7.

Бывают ситуации, когда в сети имеются две и более работы с одним и тем же начальным событием и конечным событием. Тогда в сеть могут быть введены фиктивные работы и события. Их основное назначение - зафиксировать, не позволить нарушить логику взаимосвязи и взаимной очередности следования работ и событий в сети, как это предписано исходными данными; продолжительность фиктивной работы равна 0. Использование фиктивных работ и событий особенно важно, когда компьютерная программа предназначена для определения критического пути и срока завершения всех работ.

В примере работы 2 - 5, 3 - 5, 4 - 5 являются фиктивными.

2)Расчет параметров сети. Целью расчета является определение календарных сроков

-наиболее ранних из возможных и наиболее поздних из допустимых - для свершения каждого события, соответственно для начала и окончания каждой работы в сети; на основании этого определяются резервы времени для свершения событий и выполнения работ.

Параметры событий. Каждое событие характеризуется следующим набором параметров: E - ранний срок свершения события; L - поздний срок свершения события; S - резерв времени свершения события, где S=L -E.

Параметры работ. Любая работа начинается в одном событии (начало работы) и оканчивается в другом (окончание работы). Поэтому каждая работа характеризуется следующим набором параметров: ES - ранний срок начала работы; LS - поздний срок начала работы; EF - ранний срок окончания работы; LF - поздний срок окончания работы; SS - резерв времени работы, где SS= LS - ES или SS= LF - EF.

Все предшествующие работы должны быть завершены до начала данной работы, поэтому время полного завершения наиболее поздней из них есть раннее время начала данной работы ES; все последующие за данной работы должны быть завершены без изменения сроков выполнения комплекса работ в целом, этим определяется позднее время окончания данной работы LF. Взаимосвязь параметров работы:

LS= LF - t; EF= ES + t; SS= LFES - t.

Для расчета параметров сети используется следующий алгоритм, графическая версия которого представлена на рис.1.8:

1 - ранний срок исходного события, имеющего номер 0 в сети, принимается равным 0, т.е. E(0)=0; это объясняется тем, что для удобства модельное время начинают отсчитывать с момента времени 0;

2 - выполняется расчет ранних сроков свершения всех событий в сети от исходного до завершающего (слева направо), используя выражение EF= ES + t, где ES - это ранний срок свершения события, в котором данная работа начинается, EF - это ранний срок свершения события, в котором данная работа оканчивается;

3 - поздний срок свершения завершающего события, имеющего номер М в сети, принимается равным его раннему сроку свершения, т.е. L(M)=E(M); это объясняется тем, что конечный срок завершения всего комплекса работ предполагается директивно заданным, задержки не допустимы, резерв времени отсутствует;

29