Kozlovski_Kobzev

Идеальная модель управления запасом. На основе модели EOQ можно определить ос-

новные параметры идеальной модели управления запасом, представленной на рис.6.2-а.

Рис.6.2. Идеальные модели управления запасом:

а – с одномоментным восполнением запаса; б - с восполнением запаса за время L=const (при постоянной интенсивности потребления d=const)

Приняв размер партии поставки (размер заказа для пополнения запаса) Q*=const, периодичность поставки R=const, получим постоянную интенсивность потребления запаса d = Q* / R.

Число заказов N, размещаемых в течение года: N = D/Q*.

Время между заказами (периодичность поставки) R: R = F/ N,

где F - число рабочих дней в году.

Спрос на день (интенсивность потребления запаса) d определяется отношением годового спроса D к числу рабочих дней в году F:

d = D/F.

В выражение для общих затрат запасов ТС могут быть включены затраты на приобретение единиц запаса.

Пример 6.4. Идеальная модель управления запасом. Считая, что в году 250 рабочих дней, можно определить точное число заказов, размещаемых в течение года (N), и точное время между заказами (R):

Точное число заказов = Спрос / Заказываемое количество, N = D/Q* = 1000/200 = 5 заказов/год,

Точное время между заказами = Число рабочих дней в году / Точное число заказов в год, R = F/N = 250 рабочих дней/5 заказов = 50 дней между заказами.

Общие затраты запасов:

140

TC = DS/Q + QH/2 =1000($10)/200+200($.50)/2=(5)($10)+(100)($.50)= $50+$50= $100.

Если допустить, что годовой спрос и цена продукции известны (например, 1000 штук в год по Р=$10), то общие годовые затраты должны включать затраты покупки материалов. Затраты на материалы не зависят от существующей политики заказов, определяемой как оптимальная. Поэтому независимо от того, сколько единиц заказывается каждый раз, должны определяться ежегодные затраты на материалы:

DP = (1000)($10) = $10000.

Модель производственного заказа. В модели EOQ предполагалось, что все количество единиц заказа поступает одновременно, и пополнение запаса невозможно во время его потребления. Однако чаще встречаются ситуации, когда запас потребляется и пополняется одновременно, при этом скорость потребления и скорость пополнения запаса различны. В таких условиях, характерных для производства, применяется так называемая модель производственного заказа, которую иллюстрирует рис.6.2-б.

1) Годовые затраты хранения запаса TH:

TH = (Z“ max /2)H,

где Z“ max /2 - средний уровень запаса; Z“max - максимальный уровень запаса. 2) Максимальный уровень запаса Z“ max:

Z“ max = pt - dt,

где р - дневная производительность (интенсивность производства, или пополнения запаса); d - дневной спрос (интенсивность потребления); t - продолжительность производственного процесса в днях (период); pt - общий результат производства (за период); dt - общий результат потребления (за период).

Но общий результат производства есть Q, т.е. Q = pt и t = Q/p.

Поэтому максимальный уровень запаса Z“ max:

Z“ max = p (Q/p) - d(Q/p) = Q - (d/p)Q = Q(1- d/p).

Отсюда годовые затраты хранения запаса TH:

TH = Z“ max H/2= QH (1 - d/p)/2 .

3) Используя выражения для затрат хранения ТН и переналадки TS на основе ЕОQмодели, получим общие годовые затраты запаса ТС:

ТС = TS + ТН,

TS = (D/Q)S , ТН = HQ (1 - d/p)/2, ТС =(D/Q)S + HQ (1 - d/p)/2 .

4) Отсюда получаем оптимальное число единиц на заказ Q= Q*: Q* = sqr (2DS/(H(1 - d/p))).

где D - годовой спрос (объем потребления), Р - годовая производительность (объем предложения).

141

Пример 6.5. Модель производственного заказа. Определить оптимальный заказ или производственный задел, который расходуется и потребляется одновременно в процессе производства. Годовой спрос D = 1,000 единиц.

Затраты переналадки S = $10.

Затраты хранения Н = $.50 за единицу в год.

Дневная производительность (скорость производства) р = 8 единиц ежедневно. Дневной спрос (скорость потребления) d = 6 единиц ежедневно.

1. Q* = sqr (2DS/(H(1 - d/p))) = sqr (2 (1,000)(10)/((.50)(1 - 6/8)))= = sqr (20,000/((.50)(1/4))) = sqr (160,000) = 400 единиц.

Можно сравнить это решение с полученным ранее в модели EOQ. Допущение об одномоментном получении заказа устранено посредством учета р = 8 и d = 6 в последнем выражении, что определило увеличение Q* с 200 до 400.

Модель управления запасом с фиксированной партией поставки. Представлена на рис.6.3-а. Размер партии поставки постоянен Q*=const; время исполнения заказа отлично от нуля и постоянно L=const; интенсивность потребления запаса d изменяется, с равной вероятностью принимая любое значение в интервале (dmin, dmax). Не допускается возникновение дефицита в потреблении запаса на интервале времени между очередным заказом на попол-

ROP

R=const

Рис.6.3. Реальные модели управления запасом:

а– с фиксированной партией поставки (Q=const, R≠const);

б- с фиксированной периодичностью поставки (Q≠const, R=const)

Управляющим параметром в модели является остаточный уровень запаса.

Уровень запаса, при достижении которого в процессе потребления необходимо размещать заказ на восполнение запаса, называется точкой заказа.

Точка заказа (или перезаказа) ROP:

ROP = d L .

Пример 6.6. Точка перезаказа ROP. Компания определила спрос на комплектующие в объеме 8000 в год; в течение года она работает 200 рабочих дней. В среднем доставка занимает три рабочих дня. Точка перезаказа:

Дневной спрос = Годовой спрос / Число рабочих дней в году, d = D/F = 8000/200 = 40 .

ROP = d L = 40 единиц/день 3 дня = 120 единиц.

142

Когда хранящийся запас упадет до 120 единиц, должен быть размещен заказ. Заказ прибудет три дня спустя, когда запас истощится.

Когда интенсивность потребления d не постоянна, необходимо в расчете ROP использовать наихудшее значение dmax:

ROP = dmax L .

Необходимо также предусмотреть дополнительный запас, называемый запасом безопасности (страховым или резервным).

Уровень запаса, который остается к моменту поставки очередной партии при средней интенсивности потребления, но потребляется при интенсивности выше средней, называется

резервным запасом.

Размер резервного запаса Zрез:

Zрез= ROP – Ldср= L(dmax - dmin)/2, где dср=(dmax + dmin)/ 2.

Потребление запаса резервируется на интервале времени, равном длительности цикла исполнения заказа L=const.

Размер максимального запаса Z“ max:

Z“ max = ROP - Ldmin + Q* = L(dmax - dmin) + Q*.

Модель управления запасом с фиксированной периодичностью поставки. Представлена на рис.6.3-б. Периодичность поставки постоянна R=const; время исполнения заказа отлично от нуля и постоянно L=const; интенсивность потребления запаса d изменяется, с равной вероятностью принимая любое значение в интервале (dmin, dmax). Не допускается возникновение дефицита в потреблении запаса на интервале времени между очередным заказом на пополнение запаса и фактом очередной поставки.

Управляющим параметром в модели является время, постоянное как между моментами очередных заказов, так и между моментами очередных поставок.

В момент очередного заказа фиксируется текущий остаток запаса Zтек и средняя за текущий цикл интенсивность потребления запаса d тек. На их основе рассчитывается размер очередного заказа (партии поставки) Qтек, обеспечивающий восполнение запаса до максимального уровня Z“ max:

Qтек= Z“ max - Zтек + Ld тек.

Размер максимального запаса Z“ max:

Z“ max = Ldmax.

Размер партии поставки Qтек изменяет свое значение от максимального Qтек= Z“ max до минимального Qтек= Ldmin.

Размер резервного запаса Zрез:

Zрез= Z“ max – Ldср= L(dmax - dср).

Потребление запаса резервируется на интервале времени, равном периодичности поставки R=const. В отличие от предыдущей модели, где запас резервировался на интервале L=const, размер резервного запаса в данной модели больше (т.к. R>L).

143

6.4. Специальные модели запасов

Рассмотрим некоторые специальные модели запасов для условий независимого спроса.

Модель заказа с дисконтируемым количеством. Для увеличения объемов продаж мно-

гие фирмы предлагают своим покупателям дисконтирование по количеству. Количественный дисконт (скидка) - это снижение цены единицы (Р) в случае, когда товар покупается в достаточно больших количествах. Для этого в фирме-поставщике имеется дисконтная таблица с несколькими значениями дисконта для больших заказов различного размера, где дается типичное расписание количественного дисконта: номер (код) дисконта; дисконтируемое количество в единицах; дисконт, %; дисконтная цена (Р).

В моделях запасов ставится цель минимизировать общие затраты, что в данном случае достигается, когда значение количественного дисконта рассматривается между понижающейся стоимостью продукта и увеличивающимися затратами хранения. С включением затрат продукта в общий расчет уравнение, определяющее общие годовые затраты запасов ТС, примет вид:

ТС = DS/Q + QH/2 + PD,

где D - годовой спрос в единицах; S - затраты заказа или переналадки (на один заказ или переналадку); P - цена единицы изделия; H - затраты хранения единицы за год.

Можно определить количество, которое будет соответствовать минимальным общим годовым затратам; т.к. имеется несколько дисконтов, процесс поиска решения состоит из следующих шагов.

1) Для каждого значения дисконта рассчитывается величина

Q* = sqr (2DS/IP).

постоянны при изменении цены единицы от изменения значения количественного дисконта. Нужно выразить затраты хранения в виде процента I от цены единицы продукта Р вместо того, чтобы рассматривать их как постоянную величину, приходящуюся на единицу в год Н.

2)Для любого дисконта, если заказываемое количество слишком мало, чтобы быть дисконтированным, изменяется заказываемое количество в сторону его увеличения до ближайшей минимальной величины, которую уже можно дисконтировать. Решения на шаге 2 могут быть и не очевидными; если заказываемое количество меньше ранжируемого количества, соответствующего дисконтированию, то необходимо иметь в виду, что ранжируемое количество при соответствующем ему дисконте обеспечивает и более низкие общие затраты. Второй шаг необходим, чтобы не пропустить то заказываемое количество, которое действительно соответствует минимуму затрат. Если заказываемое количество, рассчитанное на шаге 1, больше значения диапазона, подлежащего дисконтированию, оно может быть отброшено.

3)Рассчитываются общие затраты ТС для каждого Q*, если оно было меньше значения дисконтируемого диапазона.

4)Отбирается то Q*, которое соответствует самым низким общим затратам ТС, рассчитанным на шаге 3.

Пример 6.7. Модели с дисконтируемым количеством. Компания пользуется дисконт-

ными скидками для оптовых покупателей. Затраты заказа составляют $49 на заказ, годовой

144

спрос равен 5,000 единиц товара и текущие затраты запаса изменяются в проценте от стоимости I, который равен 20% или .2. Какое заказываемое количество минимизирует общие затраты запасов при следующем расписании количественного дисконта?

Первый шаг - расчет Q* для каждого дисконта согласно дисконтному расписанию: Q*1 = sqr ( 2 (5,000) (49)/(.2)/(5.00)) = 700 единиц/заказ,

Q*2 = sqr ( 2 (5,000) (49)/(.2)/(4.80)) = 714 единиц/заказ, Q*3 = sqr ( 2 (5,000) (49)/(.2)/(4.75)) = 718 единиц/заказ.

Второй шаг - корректировка в сторону увеличения тех значений Q*, которые ниже допустимого дисконтируемого диапазона величины заказа. Поскольку Q*1 находится между 0 и 999, оно не должно быть увеличено. Q*2 находится ниже значений заказов, входящих в диапазон 1000 - 1999, и поэтому оно должно быть увеличено до 1000 единиц. То же самое можно сказать и о Q*3. Оно должно быть увеличено до 2000 единиц. После этого шага тестируются полученные размеры заказов с помощью уравнения общих затрат:

Q*1 = 700

Q*2 = 1000 - увеличено

Q*3 = 2000 - увеличено.

Третий шаг - используя уравнение общих затрат, рассчитать общие затраты для всех заказываемых количеств.

Четвертый шаг - выбор заказа, соответствующего минимальным общим затратам. Это заказ, равный 1,000 единицам.

Однако нужно заметить, что общие затраты заказа 2,000 единиц лишь немного больше, чем общие затраты заказа 1,000 единиц. Таким образом, если третий дисконт понизить, например, до $4.65, тогда заказываемое количество (2,000) может стать тем, которое минимизирует общие затраты запасов.

Вероятностная модель с постоянным текущим временем. Все предыдущие модели за-

пасов предполагали, что спрос на продукт постоянен и однороден; рассмотрим вероятностную модель запасов для случая, когда спрос на продукт неизвестен, но может быть описан вероятностным распределением его значений.

145

Задача заключается в отыскании такой величины резервного запаса, который соответствует минимальным суммарным затратам его хранения и отсутствия в течение года.

Рассчитаем затраты, вызываемые отсутствием запаса. Для нулевого уровня страхового запаса возникнет нехватка 10 единиц, если спрос будет равен 60 единицам (ROP = 50 единиц), и нехватка в 20 единиц, если спрос будет равен 70 единицам. Таким образом, затраты нехватки для нулевого страхового запаса составят:

(10 единиц нехватки)(.2)($40/единица нехватки)(6 возможных нехваток в году) + + (20 единиц нехватки)(.1)($40)(6) = $960.

Годовые затраты хранения резервного запаса в 0, 10 и 20 единиц, а также общие затраты для каждой альтернативы представлены в таблице.

Страховой запас с наиболее низкими общими затратами составляет 20 единиц. Этот страховой запас изменяет точку перезаказа: 50 + 20 = 70 единиц.

Гарантирование уровня сервиса. Когда трудно или невозможно определить затраты, возникающие в связи с отсутствием запаса, можно принять следующее решение: хранить страховой запас в виде различных видов заделов (запасов “на руках”), чтобы обеспечить требуемый покупателем уровень сервиса. Можно определить уровень сервиса как уровень, достаточный для удовлетворения 95% спроса (т.е. иметь нехватку запаса только в течение 5% времени). Допуская, что спрос в текущий период (период перезаказа) подчиняется нормальному распределению, для определения требуемого уровня запасов, соответствующего данному уровню спроса, необходимо знать средний спрос в период перезаказа М (среднее значение величины запаса) и стандартное (среднеквадратическое) отклонение q. Имеющаяся информация о продажах обычно доступна для проведения расчетов значений средней и среднеквадратического отклонения. Используя кривую нормального распределения с известным средним М и среднеквадратическим отклонением q, можно определить страховой запас для 95% уровня сервиса. Пусть средний запас M и страховой запас Z образуют запас Х:

Используем свойства стандартного нормального распределения Y в области кривой распределения 0,95 (или 1- 0,05); по таблице нормального распределения можно найти величину Y.

147

Но Y = (X - M)/q= Z/q,

откуда искомый размер страхового запаса в единицах: Z = Y × q.

Пример 6.9. Гарантирование уровня сервиса. Компания имеет запас, который должен удовлетворять нормально распределенный спрос в период перезаказа. Средний спрос в период перезаказа равен 350 единиц и среднеквадратическое отклонение равно 10. Компания ставит целью гарантировать 95% уровень сервиса за счет использования страхового запаса. Каков должен быть размер страхового запаса?

М=350 единиц, q=10, Y=1.65, Z=1.65×10=16.5 единиц страхового запаса.

Вопросы для самопроверки

1.Каковы задачи и содержание планирования запасов?

2.Каковы функции запасов?

3.Какие существуют виды запасов?

4.Каково назначение и содержание методов “АВС-анализ” (правило “20/80”) и “циклы расчета” применительно к запасам?

5.Какие существуют системы управления запасами и какова область их применения?

6.Что включают в себя затраты запаса и от чего зависит их величина?

7.Что означает “экономичный размер запаса”?

8.Что такое “точка заказа” и как ее определить?

9.Как в развитие базовой модели EOQ учесть скорость пополнения запаса?

10.Какие модели запасов Вам известны и какова область их применения?

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Провести АВС-анализ при следующих исходных данных.

*Примечание. Определяется расчетно.

Ответ:

Задача 2. Фирма имеет 1000 единиц хранения класса А, 4000 единиц класса В и 8000 единиц класса С. Единицы класса А должны пересчитываться каждые 5 дней, класса В – ка148

ждые 40 дней, класса С – каждые 100 дней. Сколько единиц и какого класса должны пересчитываться ежедневно?

Ответ: класса А – 200 единиц, класса В – 100 единиц, класса С – 80 единиц, итого – 380 единиц в день.

Задача 3. Фирма ежегодно закупает для нужд сборки 8000 единиц комплектующих одного наименования. Стоимость единицы хранения в течение года $3, затраты заказа - $30 на заказ. Количество рабочих дней в году - 200. Каким должен быть размер заказа, число заказов в год и время между ними?

Ответ: комплектующие должны закупаться через каждые 10 рабочих дней в количестве 400 единиц, в течение года будет сделано 20 таких закупок.

Задача 4. Годовой спрос на товар в магазине составляет 10000 единиц. Магазин работает 300 дней в году, поставка товара от поставщика занимает 5 дней. Какова точка заказа для данного товара?

Ответ: ROP=167 единиц.

Задача 5. Потребление продукта составляет 1000 единиц в год, но производитель может производить в среднем 2000 единиц в год. Затраты переналадки равны $10, затраты хранения $1. Каков размер оптимальной производственной партии?

Ответ: 200 единиц.

Задача 6. Какой запас должен храниться на складе, если средние продажи составляют 80 единиц за период перезаказа, стандартное отклонение равно 7. Допустимое отсутствие запаса на складе - 10 процентов времени. Из таблицы нормального распределения Z площади

0.9 составляет Z=1,28.

Ответ: 9 единиц.

Задача 7. Потребность в товаре составляет 1000 единиц в год. Затраты на заказ - $100 на единицу, затраты хранения – 40 процентов от стоимости единицы товара. При величине заказа менее 120 единиц товара цена единицы - $78, при величине заказа 120 и более единиц товара цена снижается до $50 за единицу. Определить экономичный размер заказа.

Ответ: заказывать нужно по 120 единиц по цене $50 за единицу.

149