Взаимное положение прямой линии и плоскости
Прямая линия может различным образом располагаться относительно плоскости. В частности, она может быть параллельна плоскости или пересекать ее.
2.6.1 Параллельность прямой и плоскости, двух плоскостей
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (рисунок 2.23).
Рисунок 2.23 – Параллельность прямой и плоскости
Пример. Через точку N построим прямую линию t (t1, t2), параллельную плоскости, заданной двумя параллельными прямыми (а||b).
Алгоритм решения задачи:
1.В заданной плоскости построим любую прямую линию.
2.Через точку N строим прямую линию параллельную линии, лежащей в плоскости (рисунок 2.24).
Рисунок 2.24 - Прямая параллельная плоскости
Две плоскости параллельны, если существует пара пересекающихся прямых одной плоскости, соответственно параллельная паре пересекающихся прямых другой плоскости.
В случаях, когда речь идет о плоскостях проецирующих или плоскостях уровня, параллельность сохраняется между их вырожденными проекциями (рисунок 2.25).
Рисунок 2.25 – Параллельность плоскостей частного положения
Пример. Через точку N построить плоскость, параллельную плоскости Ω, заданной двумя параллельными прямыми Ω (mIIn) (рисунок 2..26). Алгоритм решения задачи:
1.Построенная плоскость параллельна заданной, т.к. линии ее задающие попарно параллельны соответственно линии m и отрезку [1; 2] заданной плоскости Ω (mIIn).
2.На основании условия параллельности двух плоскостей построить линию, лежащую в плоскости – отрезок [1;2].
3.Через проекции точки N построить проекции пересекающихся прямых, соответственно параллельных линиям плоскости.
Рисунок 2.26 – Плоскость параллельная заданной
2.6.2 Пересечение прямой линии с плоскостью
Точка пересечения прямой линии и плоскости одновременно принадлежит и прямой и плоскости. На эпюре точку пересечения прямой линии и плоскости необходимо строить, определяя ее горизонтальную и фронтальную проекции (рисунок 2.27).
Для определения взаимного положения прямой и плоскости и, в частности, для построения точки пересечения прямой и плоскости используют способ вспомогательных плоскостей-посредников. В качестве таких плоскостей, как правило, используют либо проецирующие секущие плоскости, либо плоскости уровня.
Рисунок 2.27 – Пересечение прямой линии с плоскостью
Способ плоскостей-посредников состоит в следующем:
1.Любую проекцию заданной прямой заключают в проецирующую секущую плоскость;
2.Находят линию пересечения заданной плоскости и вспомогательной (проецирующей);
3. Если окажется, что заданная прямая и построенная линия пересечения двух плоскостей (заданной и вспомогательной) пересекаются, то прямая плоскость пересекает. Если окажется, что эти прямые параллельны, то прямая параллельна плоскости и если в обеих плоскостях их проекции совпадут, то прямая принадлежит плоскости.
В том случае, когда прямая пересекает плоскость, необходимо определять взаимную видимость прямой и плоскости.
Построим точку пересечения прямой l и плоскости ∑, заданной треугольником АВС (рисунок 2.28).
Рисунок 2.28 - Пересечение прямой с плоскостью АВС
Алгоритм построения:
1. Заключим, например, во фронтально проецирующую плоскость Σ фронтальную проекцию заданной прямой l (l1, l2) (рисунок 2.2.30).
2.Плоскость Σ пересечет плоскость, заданную треугольником АВС, по прямой линии m (m1,m2). При этом фронтальные проекции прямых l и m совпадут (l2≡m2), а их горизонтальные проекции l1 и m1 пересекутся. Поскольку проекции заданной прямой l1 и построенной m1 пересекаются, то можно сделать вывод, что прямая m пересекает плоскость треугольника АВС.
3.Определяем горизонтальную проекцию К1 точки пересечения прямой l с
плоскостью ∑(ABC) как результат пересечения проекций l1 и m1.
4.Строим фронтальную проекцию точки пересечения – проекцию К2.
5.Определяем видимость проекций прямой и плоскости. Для определения видимости воспользуемся конкурирующими точками. Воспользуемся правилом для определения видимости и выберем в горизонтальной плоскости проекций пару конкурирующих точек, например, 11=31 (рисунок 2.29).
Рисунок 2.29 – Определение взаимной видимости элементов
Поскольку во фронтальной плоскости проекций видна та точка, проекция которой располагается ближе к наблюдателю, то в выбранном месте будет видна точка, принадлежащая стороне АВ треугольника АВС. Следовательно, прямая l в выбранном месте находится под плоскостью и не видна до проекции точки пересечения К2. Далее она находится над плоскостью проекций и видна. Для определения видимости элементов в горизонтальной плоскости, в этой плоскости выбирают пару конкурирующих точек, например 41≡51. Видимой окажется та точка, проекция которой будет выше во фронтальной плоскости проекций.
В случаях, когда заданная плоскость или прямая оказываются в частном положении, решение задач упрощается и построение сводится к нахождению только одной из проекций точки пересечения, вторая же проекция определяется на вырожденных проекциях прямой или плоскости (рисунок 2.30).
Рисунок 2.30 – Частные случаи пересечения прямой линии и плоскости
2.7 Пересечение двух плоскостей
Результатом пересечения двух плоскостей является отрезок прямой линии. В общем случае, для построения линии пересечения двух плоскостей, необходимо построить какие – либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. По этим двум точкам определяется положение искомой линии.
Решение задач упрощается, когда одна из плоскостей находится в частном положении или обе плоскости находятся в частном положении.
В случае, когда одна из пересекающихся плоскостей находится в частном положении, например в положении фронтально проецирующей плоскости, а вторая – плоскость общего положения, результат пересечения плоскостей определяется во фронтальной проекции отрезком прямой линии, совпадающим с вырожденной проекцией фронтально проецирующей плоскости (рисунок 2.31).
Рассмотрим случай пересечения плоскости общего положения, заданной треугольником АВС, с проецирующей плоскостью, заданной параллельными прямыми m и n.
Во фронтальной плоскости проекций определяется проекция линии пересечения заданных плоскостей проекцией отрезка прямой линии (12, 22). Спроецировав эти точки на горизонтальные проекции соответствующих сторон треугольника АВС (А1В1 и А1С1) получим горизонтальную проекцию линии пересечения (11,21) плоскостей.
Рисунок 2.31 – Частный случай пересечение плоскостей
После построения проекций линии пересечения устанавливают взаимную видимость плоскостей.
Если обе плоскости находятся в частном положении, например в положении проецирующих плоскостей, то результатом их пересечения является проецирующая прямая (рисунок 2.32).
Для построения линии пересечения плоскостей общего положения используют метод вспомогательных проецирующих плоскостей или вспомогательных плоскостей уровня.
Алгоритм использования метода вспомогательных проецирующих плоскостей:
1.Одну из проекций прямых заданной плоскости заключают в проецирующую секущую плоскость;
2.Определяют проекции линии пересечения вспомогательной и заданной плоскостей. Если окажется, что во второй проекции проекция задан-
ной и построенной прямых пересекаются, то прямая плоскость пересекает, если эти проекции параллельны, то прямая параллельна плоскости и, если они совпадут, то прямая плоскости принадлежит; 3. Устанавливают видимость двух плоскостей, используя конкурирующие точки.
Рисунок 2.32 – Пересечение проецирующих плоскостей
Для определения взаимного положения двух плоскостей можно дважды использовать описанный выше метод (рисунок 2.33).
Построение линии пересечения дух плоскостей общего положения начнем с определения точек пересечения прямых АВ и АС с плоскостью, Ω (mIIn). Для определения точки пересечения стороны АВ с плоскостью Ω (mIIn) нужно заключить эту сторону во фронтально проецирующую плоскость Θ2. После определения фронтальной (12, 22) и горизонтальной (11,21) проекций линии пересечения заданной плоскости Ω (mIIn) и впомогательной Θ определяют в горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций
горизонтальную (L1) и фронтальную (L2) проекции точки пересечения стороны АВ с плоскотью Ω (mIIn). Аналогично выполняют построения для нахождения проекций точки пересечения (N 1, N2) стороны АС с плоскостью Ω (mIIn). Соединив одноименные проекции точек L и N находим проекции линии пересечения заданных плоскостей. Завершается решение задачи определением их взаимной видимости.
Рисунок 2.33 – Метод проецирующих плоскостей
Иногда для нахождения линии пересечения двух плоскостей удобнее использовать способ вспомогательных секущих плоскостей уровня (рисунок 2.34).
Он состоит в следующем:
1.Заданные плоскости пересекают плоскостями уровня;
2.Определяют проекции линий пересечения заданных плоскостей плоскостью уровня;
3.Проекции точек, принадлежащих линии пересечения двух заданных плоскостей определяют как результат пересечения линий, возникающих на плоскостях от пересечения каждой плоскости плоскостью уровня.
Для построения проекций точек, определяющих положение линии пересечения двух плоскостей, возьмем две вспомогательные плоскости горизонтального уровня ∑ и Θ.
Рисунок 2.34 – Метод секущих плоскостей уровня
Эти плоскости пересекают заданные плоскости по соответствующим горизонталям. Точка К определена в пересечении горизонтальных проекций горизонталей h и h1 , точка L – в пересечении второй пары гори-