Практическое задание n 2. 31

1. Рассчитать определенные интегралы с заданной погрешностью двух последовательных приближений от функций: f(x) = sin(x); на интервале [0. . pi], и f(x) = cos(x); на интервале [-pi/2 . . pi/2]. Сравнить результат с точным значением интеграла от функции.

2. Показать на примерах точность квадратурных формул при n=1. Например: метод прямоугольников и трапеций для f( x) = x+5; на интервале [ 1. . 3], формулы Симпсона и "трех восьмых" - для f( x) = x³/4 + 1; на интервале [ 0. . 4].

Можно построить квадратурные формулы, точные для многочленов k -ой степени. С помощью замены переменных x= (b-a)*u/2 + (a+b)/2; и V(u) = (b-a)*f(x)/2; получаем:

_{b 1}

S =  f(x)*dx =  V(u)du = A₁*V₁ + A₂*V₂ + A₃*V₃ + ... + A_M*V_M ;

^{a -1}

где V_i = V(u_i); Такого вида формулы получены Чебышевым и Гауссом. Для различных значений "M" (числа точек интегрирования) приводятся таблицы данных для коэффициентов "A_i" и аргументов "u_i". В формуле Чебышева A₁=A₂=A₃=... =A_M=2/M. Формула Чебышева точна для многочленов M -ой степени (при четных M - для многочленов M+1 -ой степени), формула Гаусса - для многочленов 2*M-1 -ой степени. Приведем данные для M=3 и M=6.

формула Чебышева формула Гаусса

M значение "ui" значение "ui" значение "Ai"

3 0.0 0.0 0.888888

0.707107 0.774597 0.555555

0.266635 0.238619 0.467914

6 0.422519 0.661209 0.360762

0.866247 0.932470 0.171325

Метод интегрирования, основанный на представлении подынтегральной функции в виде сходящегося ряда, применяется при расчете интегралов, не выражающихся через элементарные функции. Рассмотрим пример вычисления интеграла:

_x

S=  e^-X dx= x- x³/(3*1!)+ ...+ (-1)^k*x^(2*k+1)/((2*k+1)*k!); k=0,1,2,...

⁰

При интегрировании может использоваться формула:

_{b b a}

S =  f(x)*dx =  f(x)*dx -  f(x)*dx;

^{a 0 0}

Практическое задание n 2. 32

1. Составить процедуры расчета определенных интегралов по формулам Чебышева и Гаусса для заданного числа точек интегрирования. Рассчитать численными методами интеграл от функций: f( x) = sin( x); на интервале [ 0. . pi ] и f( x) = cos( x); на интервале [-pi/2 . . pi/2 ] при M=6. Сравнить результат с точным значением и вывести значение относительной погрешности. Провести расчет с разбиением интервала N>1.

2. Показать на примерах точность квадратурных формул при M=3 и при M=6.

Например: по формуле Чебышева для f(x)= x³/4+1; и f(x)= x⁷/8+5; по формуле Гаусса для f(x)= x⁵+3; и f(x)= x¹¹/18+5; на интервале [1. . 3]. Функцию можно задать в виде: function f(x:real):real; begin f:=exp(k*ln(x))+c end;

3. Рассчитать интегралы от функций f( x) = sin( x)/ x; и f( x) = (1-cos( x))/ x, применяя разложение тригонометрической функции в ряд (см. стр. ). Рассчитать интегралы на интервале [ pi/2 . . pi ] для числа членов ряда от 1 до 8 и сравнить с данными расчета по формуле Гаусса при M=6.