Практическое задание n 2. 13
1. Построить траекторию движения спутника при R0=2*Rz, изменяя "e": 0 <e< 1 с шагом 0. 25, ( 0 <=fi<= 2*Pi). Rz=6370000, м, g=9. 81, м/с2
2. Построить траекторию движения спутника при R0=Rz изменяя "e": 1 <=e<= 2 с шагом 0. 25, (-0. 85*Pi/ e <=fi<= 0. 85*Pi/ e.
Примечание к п. п. 1, 2: вывести на экран начальную скорость спутника V0 и сравнить с первой космической W1=Rz* (g/R0); и со второй космической W2=W1*2.
Рассмотрим уравнения, описывающие прямолинейные колебания точки около неподвижного центра.
Свободные колебания точки происходящие под действием сил упругости без учета сопротивления среды называются гармоническими и описываются уравнением:
/
X = A*
sin(k*t
+ fi);
/ |/\/\/\/\/\/\/\|
X
/ 0
/
где X - координата точки, отсчитываемая от положения равновесия,
A - амплитуда, k - круговая частота, fi - начальная фаза колебаний.
t - параметр времени. Период колебаний tn = 2*Pi/k;
A = (X02 + V02/k2); tg(fi) = k*X0/V0; k = (C/M)
где X0, V0 - начальные координаты и скорость точки при t=0,
C - жесткость пружины, M - масса точки.
В случае действия небольшой силы сопротивления, пропорциональной скорости движения точки, колебания называются затухающими и описываются уравнением:
X = A1 * e(-n*t) * sin(k1*t + fi1); при n < k;
где A1 = (X02 + ((V0+n*X0)/k1)2); tg(fi1) = k1*X0/(V0+n*X0);
k1 = (k2 -n2); n=0.5*kc/M; kc - коэффициент сопротивления среды.
В случае действия на точку, совершающую колебания без сил сопротивления, гармонической возмущающей силы "F" с круговой частотой "p" колебания точки описываются уравнением:
X = A * sin(k*t+fi) + h/(k2-p2) * sin(p*t); при p<>k.
При p=k (явление резонанса) уравнение движения точки имеет вид:
X = A * sin(k*t+fi) - h*t/(2*k) * cos(k*t); при p=k.
В случае действия на точку, совершающую колебания, сил сопротивления и гармонической возмущающей силы с круговой частотой "p" колебания точки описываются уравнением:
X = A1 * e(-n*t) * sin(k1*t+fi1) + B1 * sin(p*t+u);
где B1 = h/(k14 + 4*n2*p2); tg(u) = -2*n*p/k12; h=F/M;
Практическое задание n 2. 14
1. Построить зависимость изменения от времени "t" координаты "X" точки массой M=1, кг, колеблющейся на пружине жесткостью C=10, н/м, с начальными условиями X0:=-0. 5, м; V0:=10, м/с; в случае:
1_1. Свободных колебаний точки без учета сил сопротивления, при различной жесткости пружины: C=10, н/м, C=5, н/м.
1_2. Свободных колебаний точки с учетом малой силы сопротивления, при различном сопротивлении среды: kc=0. 01; kc=0. 1; kc=1;
1_3. Вынужденных колебаний точки без учета сил сопротивления, при h=25, н/кг и различной частоте в случаях: p=0. 85*k; p=0. 5*k; p=0. 05*k;
В случае p=k при h=1, н/кг; h=2, н/кг; h=3, н/кг;
1_4. Вынужденных колебаний точки с учетом силы сопротивления kc=0. 1, при h=25, н/кг и различной частоте p=0. 5*k; p=k; p=5*k;
В
случае свободныхпрямолинейных
колебаний точки, центр крепления которой
движется по аналогичному гармоническому
закону вдоль той же линии,
уравнение движения точки имеет вид:
|/\/\/\/\/\/\/\|
X = A*sin(k1*t+fi1) + B*sin(k2*t+fi2);
k2
k1
Здесь A, B - амплитуды, k1, k2 - круговые частоты, fi1, fi2 - начальные фазы колебаний точки.
В случае примерного равенства амплитуд (A и В) и частот ( k1 и k2), т. е. при значениях |k1 - k2| << k1 результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с переменной амплитудой и начальной фазой колебаний. Такой вид колебаний называется биениями. Частота биений равна "k1", а частота изменения амплитуды равна "|k1-k2|".
В случае свободных прямолинейных колебаний точки, происходящем в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, уравнения движения точки имеют вид:
X = A*sin(k1*t+fi1); Y = B*sin(k2*t+fi2);
Траектория движения точки зависит от соотношения амплитуд,
частот и начальных фаз колебаний. Рассмотрим различные случаи.
Случай k1 = k2. В зависимости от разности начальных фаз dFi = | fi2-fi1 | получаем, при dFi=0, Pi, 2*Pi, . . . - колебания вдоль прямой, при dFi=Pi/2, 3*Pi/2, 5*Pi/2, . . . - колебания по эллиптической траектории (а при A=B - по окружности).
Случай k1 <> k2. При dFi = Pi /2 в зависимости от соотношения частот, получаем: при k1 = 2*k2 - колебания по параболической траектории, при k1 = p*k, k2 = q*k, (p и q - натуральные числа) - колебания по траекториям Лиссажу. Причем, при p - нечетных, а q - четных получаем незамкнутые кривые. При dFi не кратном Pi/2 получаются разнообразные кривые.