Практическое задание n 2. 28

1. Рассчитать методом дихотомии, либо секущих корней уравнения F(x) = 0. Определить количество итераций, для расчета корня с погрешностью < 0. 0001.

N Вид функции F(x) интервал изменения аргумента "x"

один корень несколько корней

1 x³ - 4*x² - x + 1 0 ... 1 -2 ... 6

2 2*x³ - 6*x² - x - 1 -1 ... 0 -1 ... 4

3 x - 2 + 4*SIN(x) 0 ... 1 0 ... 7

4 x² - LN(1+x) - 3 -0.9 ... 1 -0.9 ... 3

В общем случае уравнение F(x) = 0 решается итерационными методами.

Метод итераций (повторений) основан на расчете значения переменной по рекуррентным формулам. Общая итерационная формула имеет вид:

x_i = F_i(x_i-1); где i = 1, 2, . . . , m; x₀ - начальное приближение.

Для сходимости итерационной схемы должно выполняться условие:|dF_i(x)/dx|< 1;

В случае линейной итерационной схемы x_i = x_i-1 - K_i-1*F(x_i-1);

Коэффициент K_i-1 зависит от выбранной схемы и может существенно повлиять на количество итераций, необходимых для получения решения с заданной точностью.

Получим итерационную формулу для расчета корня из числа "a", т. е. x= a;

(x- a)² = x² - 2*x* a + a =0; откуда a = (x + a/x)/2; где a > 0.

полагая a = x_i; и x = x_i-1; получаем: x_i = (x_i-1 + a/x_i-1)/2;

_n

В более общем виде для x = a; x_i = ((n-1)*x_i-1 + a/(x_i-1)^(n-1))/n;

Практическое задание n 2. 29

Составить функцию

1_1. Итерационного расчета корня n-ой степени из положительного числа "a".

1_2. Итерационного расчета корня уравнения: x= Ln(A+x); при x>0; A>1;

1_3. Итерационного расчета корня уравнения: x= Arctg(x); при x<>0;

2. 5. 2. Аппроксимация по методу наименьших квадратов

Y

Y(x)

*

*

*

0 X

Пусть для некоторых значений аргумента "х_i" известны значения "y_i". Функция "Y", значения которой Y(x_i) можно использовать вместо "y_i", называется аппроксимирующей функцией. Как правило, аппроксимация применяется для получения функциональной зависимости, описывающей экспериментально полученные значения "y_i" при различных "х_i".

Рассмотрим разработанный Гауссом метод наименьших квадратов, при котором получается наилучшее приближение функции Y(x_i) к значениям y_i.

Метод заключается в аппроксимации "N" значений "y_i" полиномом степени "m":

Y(x) = A₀ + A₁ *x + A₂ *x² + . . . + A_m *x^m для которого сумма квадратов отклонений D_i = Y(x_i)-y_i минимальна. Коэффициенты A₀, A₁, A₂, . . . , A_m находятся при решении системы уравнений: S/A₀=0; S/A₁=0; S/A₂=0; . . . S/A_m=0;

где S = D₁² + D₂² + D₃² + . . . + D_N²;

В случае аппроксимации линейной функцией Y(x)= A₀ + A₁*x; для определения коэффициентов A₀ и A₁ необходимо решить систему двух уравнений:

N*A₀ + [X]*A₁ = [Y]; [X]*A₀ + [X²]*A₁ = [XY];

где [X]= x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_N; [X²]= x₁² + x₂² + x₃² + ... + x_N²;

[Y]= y₁ + y₂ + y₃ + ... + y_N; [XY]= x₁*y₁+ x₂*y₂+ x₃*y₃+...+ x_N*y_N;

Решая систему, получаем:

A₀ = ([XY]*[X]-[Y]*[X²])/([X]*[X] - N *[X²]);

A₁ = ([X] *[Y]-[XY]*N) /([X]*[X] - N *[X²]);